Circonferenza goniometrica

La circonferenza goniometrica, o circonferenza trigonometrica, è una circonferenza di raggio unitario (ossia di raggio pari a 1) situata nel piano cartesiano e con centro nell'origine degli assi. La circonferenza goniometrica è il punto di partenza per la definizione delle funzioni goniometriche.

 

In questa semplice lezione introdurremo la nozione di circonferenza goniometrica e vedremo come usarla per individuare una corrispondenza tra gli angoli e i punti appartenenti ad essa.

 

Qui siamo al punto di partenza nello studio della Trigonometria: a partire dalla lezione successiva tale circonferenza ci permetterà di fornire le definizioni delle funzioni trigonometriche in un'ottica puramente geometrica. ;)

 

Definizione di circonferenza goniometrica

 

Per definizione la circonferenza goniometrica è una circonferenza di raggio unitario (con raggio misura 1) centrata nell'origine del piano cartesiano. Eccone una rappresentazione in cui mettiamo in evidenza i punti in cui essa interseca gli assi cartesiani.

 

Circonferenza goniometrica

Circonferenza goniometrica.

 

 

Mediante la circonferenza goniometrica è possibile disegnare un angolo qualsiasi e stabilire una corrispondenza del tipo angolo-punto appartenente alla circonferenza.

 

Consideriamo l'origine O=(0,0) con vertice dell'angolo e fissiamo come primo lato dell'angolo il semiasse delle ascisse positive. Muovendo il secondo lato in senso antiorario a partire dal semiasse delle x positive riusciamo a descrivere qualsiasi angolo orientato \alpha con un'ampiezza tra \alpha=0^\circ\mbox{ e }\alpha=360^\circ

 

 

Angolo circonferenza goniometrica

Un angolo sulla circonferenza goniometrica.

Angoli notevoli sulla circonferenza goniometrica

 

Ora facciamo un passo in avanti. Tutti sappiamo misurare gli angoli in gradi e sappiamo anche che è possibile misurare gli angoli in radianti. Nel primo caso si lavora nel sistema sessagesimale e si esprimono gli angoli in gradi, primi e secondi; nel secondo caso si esprimono gli angoli sotto forma di numeri puri.

 

Un esempio:

 

90^\circ\leftrightarrow\frac{\pi}{2}

 

dove \pi indica il Pi Greco.

 

Nella lezione precedente abbiamo inoltre studiato il metodo algebrico che permette di convertire i gradi in radianti e viceversa.

 

A questo punto è bene prendere confidenza con la circonferenza goniometrica e imparare a rappresentare alcuni angoli che ricorreranno molto frequentemente nelle applicazioni geometriche, i cosiddetti angoli notevoli. Prima li elenchiamo nella seguente tabella, dopodiché passiamo a rappresentarli sulla circonferenza trigonometrica

 

 

Misura in gradi

Misura in radianti

0

30°

\frac{\pi}{6}

45°

\frac{\pi}{4}

60°

\frac{\pi}{3}

90°

\frac{\pi}{2}

180°

\pi

270°

\frac{3}{2}\pi

360°

2\pi

 

 

Cominciamo col rappresentare gli angoli più semplici: 0°, 90°, 180°, 270°, 360°. Ricordatevi che dobbiamo partire dal semiasse delle ascisse positive e muoverci in senso antiorario.

 

 

Angoli notevoli

 

 

Troppo veloce? Ok, facciamo con più calma :)

 

 

Angolo retto nella circonferenza goniometricaAngolo piatto nella circonferenza goniometrica

 

Angolo di 270° nella circonferenza goniometricaAngolo giro nella circonferenza goniometrica

 

 

Ora che abbiamo un'idea più precisa di come dobbiamo comportarci, proviamo a disegnare i restanti angoli notevoli sulla circonferenza trigonometrica: 30^\circ=\frac{\pi}{6},\ 45^\circ=\frac{\pi}{4},\ 60^\circ=\frac{\pi}{3}

 

 

Angolo di 30° nella circonferenza goniometricaAngolo di pi greco quarti sulla circonferenza goniometrica

 

Angolo di 60° nella circonferenza goniometrica

 

Importanza della circonferenza goniometrica: equivalenza geometrica degli angoli

 

Innanzitutto vi facciamo osservare che, se consideriamo angoli

 

\\ 0^\circ\leq \alpha< 360^\circ\\ \\ \mbox{ossia}\\ \\ 0\leq \alpha< 2\pi

 

ossia angoli con ampiezze comprese tra 0° e 360°, abbiamo una perfetta corrispondenza biunivoca tra le ampiezze degli angoli e i punti sulla circonferenza goniometrica: ad ogni punto riusciamo ad associare una ed una sola ampiezza compresa tra 0° e 360°, e viceversa.

 

C'è però un altra fondamentale questione che viene risolta brillantemente con l'introduzione della circonferenza goniometrica. Se avete studiato per bene le misure in radianti saprete di per certo che il radiante è un numero puro, esattamente come \pi\simeq 3,14 è un numero puro: la misura in radianti consiste cioè nell'esprimere l'ampiezza di un angolo mediante un numero che non richiede alcuna unità di misura.

 

Se consideriamo i numeri compresi tra 0 e 2\pi, otteniamo tutte le possibili misure in gradi tra 0° e 360°. Che dire per i valori numerici maggiori di 2\pi e minori di 0?

 

Fino ad oggi per voi questo potrebbe non essere stato un problema, perché geometricamente possiamo disegnare solo angoli con ampiezze comprese tra l'angolo nullo (0°) e l'angolo giro (360°), ma in Matematica ogni dubbio deve trovare una risposta e tale risposta deve trovarsi in perfetta armonia con l'insieme di definizioni e risultati teorici che la precedono.

 

È qui che subentra l'utilità della circonferenza goniometrica: essa ci permette di definire gli angoli con ampiezze maggiori di 360° e minori di 0°. Cosa succede se, sulla circonferenza trigonometrica, muoviamo il secondo lato oltre un giro completo oppure in senso orario? Le risposte sono semplici in entrambi i casi.

 

1) Se ci muoviamo oltre un giro completo, geometricamente ci ritroviamo a disegnare angoli compresi tra 0° e 360°. Otteniamo cioè angoli che sono geometricamente equivalenti a quelli compresi tra 0° e 360°, ma che presentano valori numerici maggiori di 360°:

 

- dopo un giro completo, si riparte dal semiasse delle x positive e si ottengono angoli compresi tra 360° e 720°, ossia tra 2\pi\mbox{ e }4\pi

 

- dopo due giri completi, si riparte dal semiasse delle x positive e si ottengono angoli compresi tra 720° e 1080°, ossia tra 4\pi\mbox{ e }6\pi

 

...

 

- dopo n giri completi, si riparte dal semiasse delle x positive e si ottengono angoli compresi tra n·360° e (n+1)·360°, ossia tra 2n\pi\mbox{ e }2(n+1)\pi.

 

In questo modo la rappresentazione geometrica sulla circonferenza goniometrica rimane la stessa, come se stessimo considerando angoli compreso tra 0° e 360°, ma possiamo definire numericamente gli angoli con ampiezza maggiore di 360°.

 

 

Primo giro

0^\circ\leq \alpha\leq 360^\circ 0\leq \alpha\leq 2\pi

Dopo 1
giro completo

360^\circ\leq \alpha\leq 720^\circ

2\pi\leq \alpha\leq 4\pi

Dopo 2
giri completi

720^\circ\leq \alpha\leq 1080^\circ

4\pi\leq \alpha\leq 6\pi

Dopo n
giri completi

n\cdot 360^\circ\leq \alpha\leq (n+1)\cdot 360^\circ

2n\pi\leq \alpha\leq 2(n+1)\pi

 

 

2) Se partiamo dal semiasse delle x positive e ci muoviamo in senso orario, otteniamo angoli che sono geometricamente equivalenti a quelli compresi tra 0° e 360°, ma siamo nella condizione di definire numericamente angoli con ampiezza negativa. Ebbene sì: poiché l'orientamento dell'angolo viene definito positivo quando l'ampiezza cresce in senso antiorario, per esprimere gli angoli misurati in senso orario si ricorre al segno negativo.

 

 

Primo giro
(orario)

0^\circ\leq \alpha\leq -360^\circ 0\leq \alpha\leq -2\pi

Dopo 1
giro completo
(orario)

-360^\circ\leq \alpha\leq -720^\circ

-2\pi\leq \alpha\leq -4\pi

Dopo 2
giri completi
(orario)

-720^\circ\leq \alpha\leq -1080^\circ

-4\pi\leq \alpha\leq -6\pi

Dopo n
giri completi
(orario)

-n\cdot 360^\circ\leq \alpha\leq -(n+1)\cdot 360^\circ

-2n\pi\leq \alpha\leq -2(n+1)\pi

 

 

Non rompetevi la testa più di tanto: quelle di cui stiamo parlando sono definizioni che sono state storicamente scritte in questo modo perché estremamente comode nelle applicazioni trigonometriche. Ne apprezzerete l'utilità solamente nel seguito: non è quindi il momento di domandarsi perché ma solamente di capire qual è la logica della circonferenza goniometrica. I perché arriveranno spontaneamente nel seguito. ;)

 

 


 

 

Ci fermiamo qui. Ora abbiamo tutto quello che ci serve per definire le nozioni di seno e coseno di un angolo, quindi vi aspettiamo con impazienza nella lezione successiva. ;)

 

 

Namasté, see you soon guys!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

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Tags: che cos'è e a cosa serve la circonferenza goniometrica, Trigonometria e rappresentazione degli angoli in gradi e radianti.

 

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