Formule di Werner

Le formule di Werner sono formule goniometriche che consentono di trasformare il prodotto di seni e coseni di due angoli in somme e differenze, a seconda dei casi.

 

In questa breve lezione enunceremo e, per chi fosse interessato, forniremo la dimostrazione di quelle che vengono dette formule di Werner. Esse ci permetteranno di trasformare in somma o differenza di seni e coseni il prodotto di due seni, di due coseni, o di un seno per un coseno.

 

Con questo formulario si chiude il capitolo relativo alle principali formule trigonometriche; nella lezione successiva passeremo alle formule trigonometriche relative ai triangoli rettangoli.

 

Le formule di Werner

 

Prima di tutto elenchiamo le formule di Werner, per poi passare alle dimostrazioni.

 

(1) \ \sin(\alpha) \sin(\beta) = \frac{1}{2} [\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)]

 

(2) \ \cos(\alpha) \cos(\beta) = \frac{1}{2} [\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)]

 

(3) \ \sin(\alpha) \cos(\beta) = \frac{1}{2} [\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]

 

Riguardo all'utilità delle formule di Werner, capita raramente di doverle usare nella risoluzione degli esercizi di Matematica. Tolte le ovvie identità ed espressioni goniometriche ideate per lo scopo, possono talvolta risultare utili nella discussione dei problemi geometrici (tipici della seconda prova di Matematica) e nel calcolo di alcuni limiti e integrali.

 

Dimostrazione delle formule di Werner

 

Passiamo alla dimostrazione delle formule di Werner. Anche se non foste interessati, consigliamo almeno una lettura che di certo non potrà farvi male. :)

 

Scriviamo le formule di addizione e sottrazione del coseno:

 

\\ \cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)\\ \\ \cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)

 

e sottraiamole membro a membro

 

\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha - \beta) = -2\sin(\alpha)\sin(\beta)

 

Invertiamo l'ordine e cambiamo il segno

 

2\sin(\alpha)\sin(\beta)=\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)

 

Dividendo per 2 otteniamo proprio quanto volevamo, e cioè

 

(1) \ \sin(\alpha) \sin(\beta) = \frac{1}{2} [\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)]

 

 


 

 

Dimostriamo la formula (2), la quale si ottiene sommando membro a membro le formule di addizione e sottrazione del coseno. Riscriviamole:

 

\\ \cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)\\ \\ \cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)

 

e sommiamole

 

\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2\cos(\alpha)\cos(\beta)

 

scambiamo l'ordine e dividiamo per 2. Abbiamo già finito!

 

(2) \ \cos(\alpha) \cos(\beta) = \frac{1}{2} [\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)]

 

 


 

 

Infine, per dimostrare la numero (3) delle formule di Werner partiamo dalle formule di addizione e sottrazione del seno:

 

\\ \sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)\\ \\ \sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha)\sin(\beta)

 

Sommiamo membro a membro

 

\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2\sin(\alpha)\cos(\beta)

 

cioè esattamente, dopo una banale divisione per 2:

 

(3) \ \sin(\alpha) \cos(\beta) = \frac{1}{2} [\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]

 

 


 

Ribadiamo che molto, ma molto di rado viene richiesta la dimostrazione delle formule di Werner, ma riteniamo che leggerle sia molto utile sia per fare esercizio sia, soprattutto, perchè è impossibile ricordarsi tutto a memoria. Come sempre comprendere la logica che permette di ricavare determinate formule è sempre più utile dello studio mnemonico: avendo capito come si dimostrano le formule, in caso di necessità potrete ricavarle in totale autonomia.

 

È tutto! Se siete in cerca di problemi o esercizi svolti vi suggeriamo di usare la barra di ricerca interna. Qui su YouMath ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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