Formule di Werner

In questa breve lezione enunceremo e, per chi fosse interessato, forniremo la dimostrazione di quelle che vengono dette formule di Werner che ci permetteranno di trasformare in somma o differenza di seni e coseni il prodotto di due seni, di due coseni, o di un seno per un coseno.

 

Con queste si chiude il capitolo relativo alle principali formule trigonometriche; nella lezione successiva passeremo alle formule trigonometriche relative ai triangoli rettangoli.

 

Le formule di Werner

 

(1) \ \sin(\alpha) \sin(\beta) = \frac{1}{2} [\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)]

 

(2) \ \cos(\alpha) \cos(\beta) = \frac{1}{2} [\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)]

 

(3) \ \sin(\alpha) \cos(\beta) = \frac{1}{2} [\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]

 

Dimostrazione delle formule di Werner

 

Diamo ora la dimostrazione delle formule di Werner. Anche se non foste interessati, consiglio almeno una lettura che di certo non potrà farvi male. :)

 

Scriviamoci le formule di addizione e sottrazione del coseno:

 

\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)

 

\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)

 

e sottraiamole membro a membro

 

\cos(\alpha+\beta) - \cos(\alpha - \beta) = -2\sin(\alpha)\sin(\beta)

 

Invertiamo l'ordine e cambiamo il segno

 

2\sin(\alpha)\sin(\beta)=\cos(\alpha-\beta)-\cos(\alpha+\beta)

 

Dividendo per 2 otteniamo proprio quanto volevamo, e cioè

 

(1) \ \sin(\alpha) \sin(\beta) = \frac{1}{2} [\cos(\alpha-\beta) - \cos(\alpha+\beta)]

 

 


 

 

Dimostriamo la formula numero (2), la quale vien fuori sommando membro a membro le formule di addizione e sottrazione del coseno.

 

Riscriviamole:

 

\cos(\alpha+\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)-\sin(\alpha)\sin(\beta)

 

\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta)+\sin(\alpha)\sin(\beta)

 

e sommiamole

 

\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2\cos(\alpha)\cos(\beta)

 

scambiamo l'ordine e dividiamo per 2. Abbiamo già finito!

 

(2) \ \cos(\alpha) \cos(\beta) = \frac{1}{2} [\cos(\alpha+\beta) + \cos(\alpha-\beta)]

 

 


 

 

Infine, per dimostrare la numero (3) delle formule di Werner partiamo dalle formule di addizione e sottrazione del seno:

 

\sin(\alpha+\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)+\cos(\alpha)\sin(\beta)

 

\sin(\alpha-\beta)=\sin(\alpha)\cos(\beta)-\cos(\alpha)\sin(\beta)

 

Sommiamo membro a membro

 

\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2\sin(\alpha)\cos(\beta)

 

cioè esattamente, dopo una banale divisione per 2:

 

(3) \ \sin(\alpha) \cos(\beta) = \frac{1}{2} [\sin(\alpha+\beta) + \sin(\alpha-\beta)]

 

 


 

 

Finito! In poco più di 250 parole abbiamo enunciato e dimostrato le tanto odiate (o forse no?) formule di Werner. Laughing

 

E' vero, lo ammetto! Molto, ma molto di rado viene richiesta la dimostrazione, ma secondo noi è molto utile sia per fare esercizio sia, soprattutto, perchè è impossibile ricordarsi tutto a memoria. Se non si vuole far ricorso a loschi stratagemmi (anche perché a volte è davvero impossibile farlo), un modo per tenerle sempre a mente è proprio quello di ricordare come si dimostrano.

 

 


 

Abbiamo detto tutto! In caso di dubbi, problemi o esercizi che non tornano potete porre la vostra domanda nel Forum e cercare le risposte che vi servono tra le migliaia di esercizi risolti che trovate su YM!

 

Buona Matematica a tutti,

Galois

 

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