Formule di prostaferesi

Le formule di prostaferesi (dal greco prostesis e feresis, rispettivamente somma e differenza) sono formule goniometriche che consentono di trasformare la somma e la differenza di due seni o di due coseni, valutati in due angoli p e q, in un prodotto tra seno e coseno.

 

Passiamo a occuparci del penultimo gruppo di formule trigonometriche, le formule di prostaferesi. Per spiegare cosa sono e come si usano seguiremo il solito schema: dapprima elenchiamo le formule di prostaferesi per la somma e per la differenza di seni e coseni, dopodiché ne spieghiamo l'utilità pratica ed infine ne forniamo la dimostrazione.

 

Le formule di prostaferesi

 

Le formule di prostaferesi per seno e coseno servono a trasformare le somme o le differenze di seni e coseni in prodotti.

 

Formula di prostaferesi per la somma di seni

 

(1) \ \sin(p)+\sin(q) = 2 \sin \left( \frac{p+q}{2}\right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right)

 

Formula di prostaferesi per la differenza di seni

 

(2) \ \sin(p)-\sin(q) = 2 \cos \left( \frac{p+q}{2}\right) \sin \left(\frac{p-q}{2}\right)

 

Formula di prostaferesi per la somma di coseni

 

(3) \ \cos(p)+\cos(q) = 2 \cos \left( \frac{p+q}{2}\right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right)

 

Formula di prostaferesi per la differenza di coseni

 

(4) \ \cos(p)-\cos(q) = - 2 \sin \left( \frac{p+q}{2}\right) \sin \left(\frac{p-q}{2}\right)

 

Gli utilizzi di tali formule spaziano dalle equazioni goniometriche e dalle disequazioni trigonometriche fino alla discussione dei problemi geometrici. In generale possiamo dire che sono di applicazione piuttosto rara, cionondimeno si rivelano utili ovunque sia necessario (o conveniente) trasformare una somma o una differenza di seni e di coseni in un prodotto. Il calcolo di alcuni limiti, ad esempio, viene semplificato moltissimo mediante l'uso delle formule di prostaferesi.

 

Dimostrazione delle formule di prostaferesi

 

Un trucco semplice ed efficace che permetterà di ricavare le formule di prostaferesi all'occorrenza, senza il bisogno di particolari sforzi mnemonici, consiste nel ricordare l'idea alla base della dimostrazione.

 

 

Dimostrazione delle formule di prostaferesi per somma e differenza di seni

 

Scriviamo le formule di addizione e sottrazione del seno

 

\\ \sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta)\\ \\ \sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) - \cos(\alpha) \sin(\beta)

 

e sommiamole membro a membro

 

\begin{align*}\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta)=&\sin(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) - \cos(\alpha) \sin(\beta)\end{align}

 

Otteniamo

 

(\clubsuit) \ \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2 \sin(\alpha) \cos(\beta)

 

Sottraendole membro a membro ricaviamo invece

 

\begin{align*}\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta)=&\sin(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta)\end{align}

 

ossia

 

(\spadesuit) \ \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = 2 \cos(\alpha) \sin(\beta)

 

Passaggio chiave: poniamo

 

\\ \alpha + \beta = p\\ \\ \alpha - \beta = q

 

dalle quali, sommando e sottraendo, si ha

 

\\ \alpha=\frac{p+q}{2}\\ \\ \beta=\frac{p-q}{2}

 

Sostituendo tali espressioni in \clubsuit e in \spadesuit otteniamo proprio le formule di prostaferesi per la somma e per la differenza di due seni

 

\\ (1) \ \sin(p)+\sin(q) = 2 \sin \left( \frac{p+q}{2}\right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right)\\ \\ \\ (2) \ \sin(p)-\sin(q) = 2 \cos \left( \frac{p+q}{2}\right) \sin \left(\frac{p-q}{2}\right)

 

 

Dimostrazione delle formule di prostaferesi per somma e differenza di coseni

 

In modo del tutto analogo rispetto alla precedente dimostrazione, partiamo dalle formule di addizione e sottrazione del coseno:

 

\\ \cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)\\ \\ \cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)

 

Sommiamo e sottraiamo membro a membro. Dalla somma otteniamo

 

(\heartsuit) \ \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2\cos(\alpha)\cos(\beta)

 

mentre dalla differenza ricaviamo

 

(\diamondsuit) \ \cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta) = -2\sin(\alpha) \sin(\beta)

 

Poniamo ora

 

\\ \alpha + \beta = p\\ \\ \alpha - \beta = q

 

per cui ricaviamo dalla somma e dalla differenza

 

\\ \alpha=\frac{p+q}{2}\\ \\ \beta=\frac{p-q}{2}

 

Sostituendo le rispettive espressioni in \heartsuit e in \diamondsuit arriviamo alla tesi

 

\\ (3) \ \cos(p)+\cos(q) = 2 \cos \left( \frac{p+q}{2}\right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right)\\ \\ \\ (4) \ \cos(p)-\cos(q) = - 2 \sin \left( \frac{p+q}{2}\right) \sin \left(\frac{p-q}{2}\right)

 

 

In sintesi 

 

Per farla breve basta ricordare la seguente regoletta: "dobbiamo considerare somma e differenza per tre volte":

 

1) scriviamo le formule di addizione e sottrazione;

 

2) sommiamo e sottraiamo membro a membro;

 

3) imponiamo le definizioni di p\mbox{ e }q e sommiamo e sottraiamo nuovamente membro a membro queste ultime.

 

 


 

Nel formulario successivo chiudiamo il conto con le formule trigonometriche di tipo analitico e trattiamo le formule di Werner. Prima di procedere potete dare uno sguardo alla scheda correlata di esercizi svolti, e più in generale vi raccomandiamo l'uso della barra di ricerca per trovare tutto quello che vi serve, qui su YM. ;)

 

 

Buona Matematica a tutti,

Galois

 

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