Formule di prostaferesi

Passiamo a occuparci del penultimo gruppo di formule trigonometriche: le formule di prostaferesi, dove prostaferesi non è una parolaccia bensì l'unione di due parole greche: prostesis e feresis, che significano rispettivamente somma e differenza. Capiremo tra un attimo il perché.

 

Le formule di prostaferesi

 

Le formule di prostaferesi servono a trasformare in prodotti le somme o le differenze di funzioni goniometriche. Nello specifico:

 

(1) \ \sin(p)+\sin(q) = 2 \sin \left( \frac{p+q}{2}\right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right)

 

(2) \ \sin(p)-\sin(q) = 2 \cos \left( \frac{p+q}{2}\right) \sin \left(\frac{p-q}{2}\right)

 

(3) \ \cos(p)+\cos(q) = 2 \cos \left( \frac{p+q}{2}\right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right)

 

(4) \ \cos(p)-\cos(q) = - 2 \sin \left( \frac{p+q}{2}\right) \sin \left(\frac{p-q}{2}\right)

 

Sfido chiunque a ricordare a memoria, per più di un mese, queste formule! :D

 

Dimostrazione delle formule di prostaferesi

 

Non disperiamo! Un trucco semplice ed efficace che permetterà di tirarle fuori all'occorrenza senza il bisogno di bigliettini è ricordare la loro immediata dimostrazione.

 

Scriviamo le formule di addizione e sottrazione del seno

 

\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta)

 

\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) - \cos(\alpha) \sin(\beta)

 

e sommiamole membro a membro

 

\sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) - \cos(\alpha) \sin(\beta)

 

Otteniamo

 

(\clubsuit) \ \sin(\alpha + \beta) + \sin(\alpha - \beta) = 2 \sin(\alpha) \cos(\beta)

 

Sottraendole membro a membro ricaviamo invece

 

\sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta)

 

ossia

 

(\spadesuit) \ \sin(\alpha + \beta) - \sin(\alpha - \beta) = 2 \cos(\alpha) \sin(\beta)

 

Passaggio chiave: poniamo \alpha + \beta = p  e  \alpha - \beta = q dalle quali, sommando e sottraendo, si ha

 

\alpha=\frac{p+q}{2}  e  \beta=\frac{p-q}{2}

 

Sostituendole in \clubsuit e in \spadesuit otteniamo proprio le formule di prostaferesi (1),(2)

 

(1) \ \sin(p)+\sin(q) = 2 \sin \left( \frac{p+q}{2}\right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right)

 

(2) \ \sin(p)-\sin(q) = 2 \cos \left( \frac{p+q}{2}\right) \sin \left(\frac{p-q}{2}\right)

 

 


 

 

Allo stesso identico modo, partendo dalle formule di addizione e sottrazione del coseno potremo ricavare (3) e (4)

 

\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)

 

\cos(\alpha-\beta)=\cos(\alpha)\cos(\beta) + \sin(\alpha)\sin(\beta)

 

Sommiamo e sottraiamo membro a membro. Dalla somma otteniamo

 

(\heartsuit) \ \cos(\alpha + \beta) + \cos(\alpha - \beta) = 2\cos(\alpha)\cos(\beta)

 

mentre dalla differenza

 

(\diamondsuit) \ \cos(\alpha + \beta) - \cos(\alpha - \beta) = -2\sin(\alpha) \sin(\beta)

 

Poniamo ora \alpha + \beta = p e \alpha - \beta = q, per cui ricaviamo dalla somma e dalla differenza

 

\alpha=\frac{p+q}{2} e \beta=\frac{p-q}{2}

 

Sostituendoli in \heartsuit e in \diamondsuit arriviamo proprio a

 

(3) \ \cos(p)+\cos(q) = 2 \cos \left( \frac{p+q}{2}\right) \cos \left(\frac{p-q}{2}\right)

 

(4) \ \cos(p)-\cos(q) = - 2 \sin \left( \frac{p+q}{2}\right) \sin \left(\frac{p-q}{2}\right)

 

Abbiamo finito. Laughing

 

 


 

 

Per farla breve basta ricordare che: "dobbiamo considerare somma e differenza per tre volte" cioè:

 

1) scriviamo le formule di addizione e sottrazione;

2) sommiamo e sottraiamo membro a membro;

3) imponiamo le definizioni di p e q e sommiamo e sottraiamo nuovamente membro a membro queste ultime.

 

 


 

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Buona Matematica a tutti,

Galois

 

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