Formule di bisezione

In questo articolo ci proponiamo di enunciare e come sempre dimostrare quelle che vengono chiamate formule di bisezione, le quali ci permettono di calcolare le principali funzioni goniometriche "dell'angolo metà di un angolo" \alpha di cui è noto il coseno.

 

In altre parole, grazie a queste formule, saremo in grado di calcolare

 

\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right), \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right), \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)

 

a patto che, sia noto \cos(\alpha), senza considerare che potranno essere utili nel caso di verifica di alcune identità goniometriche o per la risoluzione di alcune equazioni goniometriche e disequazioni trigonometriche.

 

Le formule di bisezione di seno, coseno e tangente

 

Sia \alpha un angolo. Valgono le seguenti uguaglianze:

 

(1) \ \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos(\alpha)}{2}}

 

(2) \ \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos(\alpha)}{2}}

 

(3) \ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}}

 

Attenzione che, mentre le prime due son definite per ogni valore di \alpha, la formula di bisezione della tangente è definita a patto che \alpha \neq 180^{\circ}+k360^{\circ}. Tra poco scopriremo il perché...

 

La formula (3) di bisezione della tangente può esprimersi in altri due modi equivalenti

 

(3') \ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sin(\alpha)}{1+\cos(\alpha)} , con \alpha \neq 180^{\circ} + k360^{\circ}

 

(3'') \ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{1-\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} , con \alpha \neq k180^{\circ}

 

che hanno il vantaggio di essere funzioni razionali (non c'è più la radice), ma lo svantaggio che in esse compaiono sia il seno che il coseno. Come sempre sarà l'esperienza e il tanto esercizio a farci intuire, di volta in volta, quale formula utilizzare.

 

Prima di procedere con le dimostrazioni voglio richiamare la vostra attenzione su una cosa: di certo avrete notato che in (1), \ (2), \ (3), prima della radice quadrata c'è un \pm. Starà quindi a noi scegliere opportunamente il segno. Come?

 

Esso dipenderà semplicemente dal quadrante in cui cade il punto associato all'angolo \frac{\alpha}{2}.

 

Vuoi vedere degli esempi? Kiss Li trovi qui: seno di x/2, coseno di x/2, tangente di x/2. Per le dimostrazioni invece continua a leggere...

 

Dimostrazione delle formule di bisezione

 

Iniziamo con la formula di bisezione del seno

 

(1) \ \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos(\alpha)}{2}}

 

Scriviamoci la formula di duplicazione del coseno:

 

\cos(2\alpha)=\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)

 

e ricordiamoci che la possiamo esprimere anche come

 

\cos(2\alpha)=1-2\sin^2(\alpha)

 

Sostituiamo \alpha con \frac{\alpha}{2} e quindi 2\alpha con \alpha:

 

\cos(\alpha)=1-2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)

 

da cui

 

\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{1-\cos(\alpha)}{2}

 

cioè

 

\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\sqrt{\frac{1-\cos(\alpha)}{2}}

 

che è proprio quanto volevamo dimostrare. Olé! :)

 

 


 

 

Proviamo la formula di bisezione del coseno

 

(2) \ \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos(\alpha)}{2}}

 

La dimostrazione è pari pari a quella appena vista, con l'unica differenza che ora considereremo come formula di duplicazione del coseno:

 

\cos(2\alpha)=2\cos^2(\alpha)-1

 

Anche in questo caso sostituiamo \alpha con \frac{\alpha}{2} e 2\alpha con \alpha, trovando

 

\cos(\alpha)=2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)-1

 

cioè

 

\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{1+\cos(\alpha)}{2}

 

da cui quanto volevamo provare

 

\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos(\alpha)}{2}}

 

 


 

 

Noti \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)  e  \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right), possiamo ora dimostrare la formula di bisezione della tangente

 

(3) \ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}}

 

Basta ricordare com'è definita la tangente di un angolo

 

\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}

 

a patto che, però, \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \neq 0, ovvero \frac{\alpha}{2} \neq 90^{\circ} + k180^{\circ} cioè \alpha \neq 180^{\circ} + k360^{\circ}

 

Per farla breve:

 

\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \overbrace{=}^{(*)} \frac{\pm \sqrt{\frac{1-\cos(\alpha)}{2}}}{\pm \sqrt{\frac{1+\cos(\alpha)}{2}}} = \pm \sqrt{\frac{\frac{1-\cos(\alpha)}{2}}{\frac{1+\cos(\alpha)}{2}}}=\pm \sqrt{\frac{1-\cos(\alpha)}{2} \frac{2}{1+\cos(\alpha)}} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}}

 

Il passaggio (*) si giustifica con le formule di bisezione seno e coseno.

 

 


 

 

Dulcis in fundo dimostriamo la formula 

 

(3') \ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sin(\alpha)}{1+\cos(\alpha)} , con \alpha \neq 180^{\circ} + k360^{\circ}

 

Partiamo anche qui dalla definizione di tangente di un angolo

 

\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}

 

con \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \neq 0, cioè \alpha \neq 180^{\circ} + k360^{\circ}.

 

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per 2 \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) che, nelle ipotesi relative ad \alpha, è sicuramente diverso da zero Wink

 

\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) 2 \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) 2 \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\overbrace{=}^{(*)}\frac{\sin(\alpha)}{2 \frac{1+\cos(\alpha)}{2}}=\frac{\sin(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}

 

(*):

 

- a numeratore abbiamo applicato formula di duplicazione del seno:

 

\sin(2\alpha)=2 \sin(\alpha)\cos(\alpha), da cui \sin(\alpha)=2\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right).

 

- A denominatore basta applicare la formula di bisezione del coseno:

 

\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{1+\cos(\alpha)}{2}

 

Finito! Laughing

 

 


 

 

Per quanto riguarda la formula (3'') si procede esattamente allo stesso modo, partendo dalla definizione di tangente e dividendo però per 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right), dopo aver supposto però che \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \neq 0, ovvero \frac{\alpha}{2} \neq k180^{\circ} cioè \alpha \neq k360^{\circ}.

 

 


 

That's all! In caso di dubbi, problemi, perplessità, esercizi che non tornano non esitate a porre la vostra domanda sul Forum e a cercare le risposte che vi servono qui su YM, tra le migliaia di esercizi risolti e spiegati.

 

Buona Matematica a tutti,

Giuseppe Carichino

 

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Tags: formule di bisezione con dimostrazione per seno, coseno e tangente.

 

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