Formule di bisezione

Le formule di bisezione sono formule trigonometriche che permettono di calcolare il seno, il coseno e la tangente di metà angolo, ossia α/2, mediante espressioni costituite da funzioni goniometriche valutate nell'angolo α, e più precisamente espresse in termini del coseno di α.

 

In questo formulario ci proponiamo di enunciare e come sempre dimostrare le cosiddette formule di bisezione di seno, coseno e tangente, le quali ci permettono di calcolare le principali funzioni goniometriche in un angolo espresso come metà di un altro angolo.

 

Come di consueto le dimostrazioni sono relegate alla seconda parte della lezione. Vi consigliamo di non sottovalutarne l'importanza. ;)

 

Le formule di bisezione di seno, coseno e tangente

 

Sia \alpha un angolo.

 

Formula di bisezione del seno

 

(1) \ \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos(\alpha)}{2}}

 

Per un esempio di applicazione: seno di x/2.

 

Formula di bisezione del coseno

 

(2) \ \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos(\alpha)}{2}}

 

Per gli esempi: coseno di x/2.

 

Formula di bisezione della tangente

 

(3) \ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}}\ \ \ \mbox{ con }\alpha \neq 180^{\circ}+k360^{\circ}

 

Per gli esempi: tangente di x/2.

 

Attenzione: la formula di bisezione della tangente è valida a patto che sia soddisfatta la relativa condizione di esistenza, e inoltre si può esprimere in altri due modi equivalenti

 

\\ (3') \ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sin(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}\ \ \ \mbox{ con } \alpha \neq 180^{\circ} + k360^{\circ}\\ \\ \\ (3'') \ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{1-\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)}\ \ \ \mbox{ con } \alpha \neq k180^{\circ}

 

Tali formulazioni hanno il vantaggio di non presentare al secondo membro la radice; di contro, hanno lo svantaggio di dipendere sia dal seno che dal coseno. Come sempre sarà l'esperienza e il continuo esercizio a farci intuire, di volta in volta, quale formula utilizzare.

 

Scelta del segno nelle formule di bisezione

 

Richiamiamo la vostra attenzione su una importante caratteristica che accomuna le formule di bisezione. Di certo avrete notato che in (1), (2) e in (3), prima della radice quadrata, c'è un segno più o meno (\pm).

 

Starà quindi a noi scegliere opportunamente il segno. La scelta dipenderà semplicemente dal quadrante in cui, facendo riferimento alla circonferenza goniometrica, cade il punto associato all'angolo \frac{\alpha}{2}.

 

Formule di bisezione per cotangente, secante e cosecante

 

Per quanto concerne le formule di bisezione per cotangente, secante e cosecante, non è necessario preoccuparsi di scriverle né di ricordarle. Oltre a rendersi necessarie in rarissimi casi, qualora ci capitasse di doverle usare, possiamo ridurre al minimo i nostri sforzi mnemonici ricordando solamente le formule di bisezione per seno e coseno.

 

Così facendo potremo eventualmente ricavare la formula di bisezione della tangente mediante la definizione

 

\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}

 

e, in modo analogo, ricavare le formule di bisezione per cotangente, secante e cosecante direttamente dalle definizioni

 

\cot\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{1}{\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\\ \\ \\ \sec\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{1}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\ \ \ ;\ \ \ \csc\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{1}{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}

 

In ciascuno dei casi considerati dovremo imporre le condizioni di esistenza necessarie affinché le formule di bisezione siano valide.

 

Utilità delle formule di bisezione

 

Le formule di bisezione hanno parecchi riscontri pratici e possono essere utili per la verifica di alcune identità goniometriche, così come per la risoluzione di alcune equazioni goniometriche e disequazioni trigonometriche. Esse ci permettono inoltre di scrivere le formule parametriche, di cui ci occupiamo nel formulario successivo, le quali a loro volta vengono utilizzate in una moltitudine di applicazioni pratiche.

 

Ad ogni modo l'utilizzo più immediato riguarda il calcolo dei valori delle funzioni goniometriche in corrispondenza di angoli non notevoli.

 

Esempio di applicazione delle formule di bisezione

 

Calcolare il seno di 22°30'.

 

Svolgimento: esprimiamo 22°30' come metà dell'angolo di ampiezza pari a 45° e sfruttiamo la formula di bisezione del seno

 

\sin(22^\circ 30')=\sin\left(\frac{45^o}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos(45^\circ)}{2}}

 

Per la scelta del segno basta osservare che 22°30' cade nel primo quadrante, sicché

 

\sin(22^\circ 30')=+\sqrt{\frac{1-\frac{\sqrt{2}}{2}}{2}}=\sqrt{\frac{2-\sqrt{2}}{4}}=\frac{\sqrt{2-\sqrt{2}}}{2}

 

dove il risultato può essere eventualmente riscritto mediante la regola per i radicali doppi.

 

Dimostrazione delle formule di bisezione

 

 

Dimostrazione della formula di bisezione del seno

 

(1) \ \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos(\alpha)}{2}}

 

Scriviamoci la formula di duplicazione del coseno:

 

\cos(2\alpha)=\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)

 

e ricordiamoci che la possiamo esprimere anche come

 

\cos(2\alpha)=1-2\sin^2(\alpha)

 

Sostituiamo \alpha\ \to\ \frac{\alpha}{2} e quindi 2\alpha\ \to \alpha:

 

\cos(\alpha)=1-2\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)

 

da cui

 

\sin^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{1-\cos(\alpha)}{2}

 

cioè

 

\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm\sqrt{\frac{1-\cos(\alpha)}{2}}

 

che è proprio ciò che volevamo dimostrare.

 

 

Dimostrazione della formula di bisezione del coseno

 

(2) \ \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos(\alpha)}{2}}

 

La dimostrazione è analoga a quella appena vista, con l'unica differenza che ora considereremo la formula di duplicazione del coseno:

 

\cos(2\alpha)=2\cos^2(\alpha)-1

 

Anche in questo caso sostituiamo \alpha\ \to\ \frac{\alpha}{2} e 2\alpha\ \to\ \alpha

 

\cos(\alpha)=2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)-1

 

cioè

 

\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{1+\cos(\alpha)}{2}

 

da cui si ricava la tesi

 

\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1+\cos(\alpha)}{2}}

 

 

Dimostrazione della formula di bisezione della tangente (3)

 

Avendo dimostrato la validità delle formule di bisezione per seno e coseno possiamo usarle per dimostrare quella della tangente

 

(3) \ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\pm \sqrt{\frac{1-\cos(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}}

 

Basta ricordare com'è definita la tangente di un angolo

 

\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}

 

in cui dobbiamo tenere conto delle condizioni di esistenza

 

\\ \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \neq 0\ \to\ \frac{\alpha}{2} \neq 90^{\circ} + k180^{\circ}\ \to\ \alpha \neq 180^{\circ} + k360^{\circ}

 

In breve:

 

\\ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)} \overbrace{=}^{(*)} \frac{\pm \sqrt{\frac{1-\cos(\alpha)}{2}}}{\pm \sqrt{\frac{1+\cos(\alpha)}{2}}} = \pm \sqrt{\frac{\frac{1-\cos(\alpha)}{2}}{\frac{1+\cos(\alpha)}{2}}}=\\ \\ \\ =\pm \sqrt{\frac{1-\cos(\alpha)}{2} \frac{2}{1+\cos(\alpha)}} = \pm \sqrt{\frac{1-\cos(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}}

 

dove il passaggio (*) si giustifica con le formule di bisezione seno e coseno.

 

 

Dimostrazione delle formule equivalenti (3') e (3'')

 

Dulcis in fundo dimostriamo la formula (3')

 

(3') \ \tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sin(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}\ \ \ \mbox{ con }\alpha \neq 180^{\circ} + k360^{\circ}

 

Partiamo anche qui dalla definizione di tangente di un angolo

 

\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}

 

dove imponiamo la condizione di esistenza

 

\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \neq 0\ \to\ \alpha \neq 180^{\circ} + k360^{\circ}

 

Moltiplichiamo numeratore e denominatore per 2 \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) che, nelle ipotesi relative ad \alpha, è sicuramente diverso da zero

 

\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) 2 \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) 2 \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}=\frac{2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \cos\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{2\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}\overbrace{=}^{(*)}\frac{\sin(\alpha)}{2 \frac{1+\cos(\alpha)}{2}}=\frac{\sin(\alpha)}{1+\cos(\alpha)}

 

Nel passaggio (*) abbiamo applicato:

 

- la formula di duplicazione del seno a numeratore

 

\sin(2\alpha)=2 \sin(\alpha)\cos(\alpha), da cui \sin(\alpha)=2\cos\left(\frac{\alpha}{2}\right) \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right).

 

- la formula di bisezione del coseno a denominatore

 

\cos^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)=\frac{1+\cos(\alpha)}{2}

 

Finito! Per quanto riguarda la formula (3'') si procede esattamente in modo analogo, partendo dalla definizione di tangente e dividendo per 2 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right), a patto di imporre

 

\\ \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) \neq 0\ \to\ \frac{\alpha}{2} \neq k180^{\circ}\ \to\ \alpha \neq k360^{\circ}

 

 


 

Nel caso vogliate esercitarvi c'è una scheda di esercizi sulle formule di bisezione che vi sta aspettando. Per tutto il resto non esitate: qui su YM ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati nel dettaglio e potete reperire tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

Buona Matematica a tutti,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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