Logo


             | 

Formule parametriche

In questa breve lezione enunceremo le formule parametriche del seno e del coseno, che si rivelano molto utili quando dobbiamo verificare identità goniometriche o risolvere equazioni goniometriche e disequazioni trigonometriche in cui compaiono sia il seno che il coseno.. quindi non prendetele sotto gamba.

 

Formule parametriche per il seno e il coseno

Eccole, ve le presento! Tongue out Sia \alpha un angolo: possiamo allora scrivere

 

\sin(\alpha)=\frac{2t}{1+t^2}

 

\cos(\alpha)=\frac{1-t^2}{1+t^2}

 

avendo posto:

 

t=\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right).

 

Si capisce subito che queste formule valgono a patto che la tangente non perda di significato, cioè se

 

\frac{\alpha}{2} \neq 90^{\circ} + k180^{\circ}

 

ossia per \alpha \neq 180^{\circ} + k360^{\circ}.

 

Dimostrazione delle formule parametriche

 

Premettiamo che potrebbero sembrarvi un po' lunghe, ma è solo perché a differenza dei vostri libri di testo non vogliamo omettere alcun passaggio. Laughing

 

Partiamo dalla semplicissima dimostrazione della formula parametrica del seno. Partiamo dalla formula di duplicazione del seno

 

\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)

 

che possiamo pensare come

 

\sin(2\alpha)=\frac{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{1}

 

Facciamo riferimento alla relazione fondamentale della trigonometria

 

\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1

 

e sostituiamo l'espressione di 1 nella precedente precedente

 

\sin(2\alpha)=\frac{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)}.

 

Se supponiamo che sia \cos^2(\alpha) \neq 0, cioé \alpha \neq 90^{\circ} + k 180^{\circ}, possiamo dividere numeratore e denominatore per \cos^2(\alpha)

 

\sin(2\alpha)=\frac{\frac{2 \sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}}{\frac{\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}}

 

da cui, semplificando e riorganizzando meglio il tutto

 

\sin(2\alpha) = \frac{\frac{2\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}{\frac{\cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}+\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}}

 

A questo punto basta ricordare com'è definita la tangente

 

\sin(2\alpha)=\frac{2 \tan(\alpha)}{1+\tan^2(\alpha)}

 

e sostituire \frac{\alpha}{2} con \alpha e quindi 2\alpha con \alpha

 

\sin(\alpha)=\frac{2\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}

 

Dulcis in fundo, poniamo t=\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) e otteniamo ciò che volevamo

 

\sin(\alpha)=\frac{2t}{1+t^2}.

 


 

Per quanto riguarda la dimostrazione della formula parametrica del coseno, si procede esattamente allo stesso modo. Scriviamoci la sua formula di duplicazione

 

\cos(2\alpha)=\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)

 

e pensiamola come

 

\cos(2\alpha)=\frac{\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)}{1}

 

Grazie alla relazione fondamentale della trigonometria: \cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1, possiamo scrivere

 

\cos(2\alpha)=\frac{\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)}

 

Supponiamo ora che sia \cos^2(\alpha) \neq 0, cioé \alpha \neq 90^{\circ} + k 180^{\circ}, per cui possiamo dividere numeratore e denominatore per \cos^2(\alpha)

 

\cos(2\alpha)=\frac{\frac{\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}}{\frac{\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}}

 

Riscriviamo numeratore e denominatore in una forma migliore

 

\cos(2\alpha) = \frac{\frac{\cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}-\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}}{\frac{\cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}+\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}}

 

e quindi, dopo una rapidissima semplificazione e ricordando la definizione di tangente, arriviamo a

 

\cos(2\alpha)=\frac{1-\tan^2(\alpha)}{1+\tan^2(\alpha)},

 

Sostituiamo \frac{\alpha}{2} con \alpha e 2\alpha con \alpha

 

\cos(\alpha)=\frac{1-\tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}{1+\tan^2\left(\frac{\alpha}{2}\right)}

 

Concludiamo ponendo t=\tan\left(\frac{\alpha}{2}\right) e arriviamo direttamente alla tesi, vale a dire

 

\cos(\alpha)=\frac{1-t^2}{1+t^2} .

 


 

E' davvero tutto! In caso di dubbi, problemi, perplessità, potete trovare le risposte che vi servono tra le migliaia di esercizi risolti e spiegati su YM...e se ancora non bastasse, potrete sempre aprire una discussione nel Forum!

 

Buona Matematica a tutti,

Galois

 

Lezione precedente..........Esercizi correlati...........Lezione successiva

 

Utile?  

 


Tags: formule parametriche per il seno e per il coseno.

 

Formule parametriche