Formule di duplicazione

Le formule di duplicazione sono formule trigonometriche che permettono di calcolare il seno, il coseno, la tangente e la cotangente del doppio di un angolo α mediante espressioni di funzioni trigonometriche valutate nell'angolo α.

 

In questa lezione enunceremo le formule di duplicazione per seno, coseno e tangente. Oltre a fornire le formule le commenteremo nel dettaglio mostrando come usarle negli esercizi e, più in generale, spiegandone l'utilità pratica.

 

Per chi fosse interessato nella seconda parte della lezione forniamo anche la dimostrazione delle formule di duplicazione. ;)

 

Premessa per le formule di duplicazione

 

Sia \alpha un angolo. Le formule di duplicazione permettono di calcolare il seno, il coseno e la tangente del doppio dell'angolo dato, ovvero di 2\alpha.

 

Prima di elencarle è bene soffermarsi su un'osservazione molto importante:

 

\\ \sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\ \ \ \ \ \mbox{NO}\\ \\ \cos(2\alpha)=2\cos(\alpha)\ \ \ \ \ \mbox{NO}\\ \\ \tan(2\alpha)=2\tan(\alpha)\ \ \ \ \ \mbox{NO}

 

In parole povere per le funzioni goniometriche non è possibile portare fuori dall'argomento gli eventuali coefficienti dell'angolo. Il seno, il coseno, la tangente e tutte le altre funzioni goniometriche nel doppio di un angolo non equivalgono al doppio della medesima funzione valutata nell'angolo.

 

Esempio

 

Per mostrare che \sin(2\alpha)\neq 2\sin(\alpha) basta considerare un controesempio.

 

Se consideriamo l'angolo \alpha=30^{\circ}, sappiamo bene che il seno di 30° vale

 

\sin(\alpha)=\sin(30^{\circ})=\frac{1}{2}

 

D'altra parte

 

2\alpha=2\cdot 30^{\circ}=60^{\circ}\ \to\ \sin(2\alpha)=\sin(60^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}

 

Risulta quindi evidente che, per \alpha=30^{\circ}:

 

\sin(2\alpha)=\sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \ \neq \ 2\sin(\alpha)=2\sin(30^{\circ}) = 2 \cdot \frac{1}{2} = 1.

 

Con un controesempio del tutto analogo si giunge alla stessa conclusione per il coseno, per la tangente e per le altre funzioni goniometriche.

 

Formule di duplicazione per seno, coseno e tangente

 

Le giuste formule che ci consentono di trovare seno, coseno e tangente del doppio di un angolo \alpha sono le seguenti:

 

Formula di duplicazione del seno

 

\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)

 

Per la spiegazione con un esempio pratico di applicazione: seno di 2x.

 

Formula di duplicazione del coseno

 

\cos(2\alpha)=\begin{cases} (1) \ \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) \\ (2) \ 1-2\sin^2(\alpha) \\ (3) \  2\cos^2(\alpha)-1 \end{cases}

 

Le tre formule, come vedremo nella dimostrazione, sono del tutto equivalenti e sarà il contesto a farci intuire quale utilizzare. Spiegazione ed esempio di utilizzo: coseno di 2x.

 

Formula di duplicazione della tangente

 

\tan(2\alpha)=\frac{2\tan(\alpha)}{1-\tan^2(\alpha)}\ \ \ \mbox{ con }\alpha \neq 45^{\circ} + k 90^{\circ}\ \ \mbox{ e }\ \ \alpha \neq 90^{\circ} + k180^{\circ}

 

La formula di duplicazione della tangente vale a patto che siano soddisfatte la relative condizioni di esistenza. Tali condizioni si ricavano direttamente dalla definizione di tangente, dunque risolvendo il sistema:

 

\begin{cases} 2\alpha \neq \frac{\pi}{2}+k\pi, \ k \in \mathbb{Z} \\ \alpha \neq \frac{\pi}{2}+k\pi, \ k \in \mathbb{Z} \\ 1-\tan^2(\alpha) \neq 0 \end{cases}

 

Per leggere un esempio: tangente di 2x.

 

Formule di duplicazione per cotangente, secante e cosecante

 

Prima di procedere con le dimostrazioni delle formule di duplicazione, un piccolo appunto: a ben vedere è sufficiente imparare le formule di duplicazione del seno e del coseno. La formula di duplicazione della tangente può essere facilmente ricavata mediante la definizione di tangente

 

\tan(2\alpha)=\frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)}

 

Le formule di duplicazione della cotangente, della secante e della cosecante possono essere ricavate in modo del tutto analogo, ossia facendo riferimento alle definizioni di cotangentesecante e cosecante

 

\\ \cot(2\alpha)=\frac{\cos(2\alpha)}{\sin(2\alpha)}=\frac{1}{\tan(2\alpha)}\\ \\ \\ \sec(2\alpha)=\frac{1}{\cos(2\alpha)}\ \ \ ;\ \ \ \csc(2\alpha)=\frac{1}{\sin(2\alpha)}

 

In ognuno dei casi considerati vanno imposte le dovute condizioni di esistenza. A tal proposito la dimostrazione della formula di duplicazione della tangente, che riportiamo di seguito, può risultare illuminante. ;)

 

Se vi state domandando perché abbiamo deciso di non riportare tali formule, la motivazione è di tipo didattico. Vi capiterà raramente di dover duplicare cotangente, secante e cosecante, e in ogni caso è sempre meglio affidarsi al puro ragionamento piuttosto che ricordare a memoria troppe formule.

 

Utilità delle formule di duplicazione

 

Le formule di duplicazione vi accompagneranno più o meno sporadicamente nella continuazione degli studi. Oltre ai classici problemi geometrici, intesi come dimostrazioni teoriche o discussioni algebriche tipiche della seconda prova di Matematica, vi assicuriamo che la tecnica di duplicazione potrà salvarvi in tantissimi esercizi di Analisi 1. Un esempio: consentono di calcolare brillantemente alcuni integrali che, in alternativa, richiederebbero tonnellate di passaggi e di calcoli. ;)

 

Per il momento ci limitiamo ad un semplice esempio di applicazione. Grazie alle formule di duplicazione potete ricavare facilmente i valori delle funzioni trigonometriche in corrispondenza di alcuni angoli non notevoli. Se volessimo calcolare il coseno di 120° e non ricordassimo le formule per gli archi associati, potremmo scrivere

 

120^\circ=2\cdot 60^\circ

 

e dunque

 

\\ \cos(120^\circ)=\cos(2\cdot 60^\circ)=\cos^2(60^\circ)-\sin^2(60^\circ)=\\ \\ =\left(\frac{1}{2}\right)^2-\left(\frac{\sqrt{3}}{2}\right)^2=\frac{1}{4}-\frac{3}{4}=-\frac{1}{2}

 

Dimostrazione delle formule di duplicazione

 

Come promesso le dimostrazioni delle formule di duplicazione non sono nulla di eclatante. Vediamole!

 

 

Dimostrazione della formula di duplicazione del seno

 

Consideriamo la formula di addizione del seno

 

\sin(\alpha + \beta)=\sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta)

 

e sostituiamo \beta=\alpha, ottenendo:

 

\sin(\alpha + \alpha)=\sin(\alpha) \cos(\alpha) + \cos(\alpha) \sin(\alpha)

 

ossia

 

\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha) \cos(\alpha)

 

che è ciò che volevamo dimostrare.

 

 

Dimostrazione della formula di duplicazione del coseno

 

Ragionando in modo analogo rispetto alla precedente dimostrazione, partiamo dalla formula di addizione

 

\cos(\alpha + \beta)=\cos(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta)

 

e sostituiamo \beta=\alpha

 

\cos(\alpha + \alpha)=\cos(\alpha) \cos(\alpha) - \sin(\alpha) \sin(\alpha).

 

Facendo due conticini otteniamo

 

(1) \ \cos(2\alpha)=\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)

 

cioè la prima delle tre formulazioni equivalenti. Per ottenere le altre due, basta ricordare la formula fondamentale della trigonometria (vedi formule trigonometriche)

 

\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1

 

da cui

 

\\ \cos^2(\alpha) = 1-\sin^2(\alpha)\\ \\ \mbox{e}\\ \\ \sin^2(\alpha)=1-\cos^2(\alpha)

 

Sostituendole in (1) otteniamo

 

\\ (2) \ \cos(2\alpha)=1-2\sin^2(\alpha)\\ \\ \mbox{e}\\ \\ (3) \ \cos(2\alpha)=2\cos^2 - 1(\alpha)

 

che è quanto volevamo provare.

 

 

Dimostrazione formula di duplicazione della tangente

 

Per dimostrare la formula di duplicazione della tangente possiamo procedere in due modi del tutto equivalenti.

 

1) Usare la formula di addizione della tangente (ve lo lasciamo per esercizio ;) ).

 

2) Se anche voi, come noi, non ricordate mai la formula di addizione della tangente, potete utilizzare la definizione di tangente:

 

\tan(2\alpha)\overbrace{=}^{(*)}\frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} \overbrace{=}^{(**)} \frac{2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)}

 

Il passaggio (*) vale a patto che sia

 

2\alpha \neq 90^{\circ}+k180^{\circ}\ \ \to\ \ \alpha \neq 45^{\circ} + k90^{\circ}

 

che è proprio la condizione di esistenza della tangente. Il passaggio (**) deriva invece dalle formule di duplicazione di seno e coseno.

 

Ora dividiamo numeratore e denominatore per \cos^2{\alpha} e per farlo dobbiamo supporre

 

\alpha \neq 90^{\circ}+k180^{\circ}

 

Ricaviamo così

 

\tan(2\alpha)=\frac{\frac{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}}{\frac{\cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}-\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}}  = \frac{\frac{2\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}{1-\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}} = \frac{2 \tan(\alpha)}{1-\tan^2(\alpha)}  

 

che è la tesi.

 

 


 

Per questa lezione è tutto. Vi consigliamo di non snobbare le dimostrazioni; anche se non sono richieste dal vostro professore, rimangono sempre un ottimo modo per allenare la mano e soprattutto la mente.

 

Per il resto vi suggeriamo di consultare la scheda correlata di esercizi svolti sulle formule di duplicazione e di proseguire con la lettura, nel formulario successivo vi presentiamo le formule di bisezione. Nel frattempo ricordatevi che qui su YM ci sono migliaia di esercizi e di spiegazioni fornite dallo Staff, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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