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Formule di duplicazione

In questa lezione enunceremo brevemente, ma senza tralasciare nulla, le formule di duplicazione delle principali funzioni goniometriche. Per chi fosse interessato, ne daremo anche la dimostrazione, certi del fatto che anche solo una lettura non può che far bene. Tongue out

 

Formule di duplicazione per seno, coseno e tangente

 

Sia \alpha un angolo. Le formule di duplicazione permettono di trovare seno, coseno e tangente del doppio dell'angolo dato, ovvero di 2\alpha.

 

Notate bene infatti che sarebbe un errore molto grave affermare, ad esempio, che \sin(2\alpha)=2\sin(\alpha) e per convincerci di ciò basta considerare \alpha=30^{\circ}.

 

Sappiamo bene che \sin(30^{\circ})=\frac{1}{2}.

 

D'altra parte 2\alpha=60^{\circ} e \sin(60^{\circ})=\frac{\sqrt{3}}{2}

 

Non serve il genio della Lampada per vedere che \sin(60^{\circ}) = \frac{\sqrt{3}}{2} \ \neq \ 2\sin(30^{\circ}) = 2 \ \frac{1}{2} = 1.

 

Attenzione dunque! La stessa cosa ovviamente vale sia per il coseno, sia per la tangente. La giuste formule che ci consentono di trovare seno, coseno e tangente di 2\alpha sono le seguenti:

 

Formula di duplicazione del seno

 

\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha)\cos(\alpha)

 

Per la spiegazione con un esempio di applicazione, vedi qui: seno di 2x. Per la dimostrazione, continua a leggere.

 

Formula di duplicazione del coseno

 

\cos(2\alpha)=\begin{cases} (1) \ \cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha) \\ (2) \ 1-2\sin^2(\alpha) \\ (3) \  2\cos^2(\alpha)-1 \end{cases}

 

Spiegazione ed esempio di utilizzo: coseno di 2x. La dimostrazione nel seguito della pagina.

 

Formula di duplicazione della tangente

 

\tan(2\alpha)=\frac{2\tan(\alpha)}{1-\tan^2(\alpha)}

 

a patto che \alpha \neq 45^{\circ} + k 90^{\circ} e \alpha \neq 90^{\circ} + k180^{\circ}, condizioni che si ottengono risolvendo il sistema:

 

\left\{ \begin{matrix} 2\alpha \neq 90^{\circ}+k180^{\circ} \\ \alpha \neq 90^{\circ}+k180^{\circ} \\ 1-\tan^2(\alpha) \neq 0 \end{matrix}

 

Le tre formule, come vedremo nella dimostrazione, sono del tutto equivalenti e sarà il contesto a farci intuire quale utilizzare. Wink Al solito se ti interessa la dimostrazione continua a leggere, mentre se vuoi vedere un esempio: tangente di 2x.

 

Dimostrazione delle formule di duplicazione

 

Dimostrazione della formula di duplicazione del seno

 

Prendiamo la formula di addizione del seno

 

\sin(\alpha + \beta)=\sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta)

 

e sostituiamo \beta con \alpha, ottenendo:

 

\sin(\alpha + \alpha)=\sin(\alpha) \cos(\alpha) + \cos(\alpha) \sin(\alpha)

 

ossia

 

\sin(2\alpha)=2\sin(\alpha) \cos(\alpha)

 

che è quanto volevamo provare Wink

 

Dimostrazione della formula di duplicazione del coseno

 

Proprio come fatto prima per il seno, partiamo dalla formula di addizione:

 

\cos(\alpha + \beta)=\cos(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta)

 

e sostituiamo \beta con \alpha

 

\cos(\alpha + \alpha)=\cos(\alpha) \cos(\alpha) - \sin(\alpha) \sin(\alpha).

 

Facendo due conticini otteniamo proprio

 

(1) \ \cos(2\alpha)=\cos^2(\alpha) - \sin^2(\alpha)

 

cioè la prima delle tre formule. Laughing Per ottenere le altre due, basta ricordare la formula fondamentale della trigonometria (vedi formule trigonometriche)

 

\cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1

 

da cui

 

\cos^2(\alpha) = 1-\sin^2(\alpha)

 

e

 

\sin^2(\alpha)=1-\cos^2(\alpha)

 

Sostituendole in (1) troviamo proprio:

 

(2) \ \cos(2\alpha)=1-2\sin^2(\alpha)

 

e

 

(3) \ \cos(2\alpha)=2\cos^2 - 1(\alpha)

 

che è quanto volevamo provare.

 

Dimostrazione formula di duplicazione della tangente

 

Per dimostrare questa formula ci sono due modi, entrambi molto semplici.

 

1) Si usa la formula di addizione della tangente. Lascio a voi la dimostrazione per esercizio...Tongue out

 

2) Dato che non mi ricordo mai la formula di addizione e sono pigro per andarmela a cercare, utilizzo la definizione di tangente:

 

\tan(2\alpha)\overbrace{=}^{(*)}\frac{\sin(2\alpha)}{\cos(2\alpha)} \overbrace{=}^{(**)} \frac{2 \sin(\alpha) \cos(\alpha)}{\cos^2(\alpha)-\sin^2(\alpha)}

 

(*) A patto che 2\alpha \neq 90^{\circ}+k180^{\circ}, ovvero \alpha \neq 45^{\circ} + k90^{\circ}, altrimenti perderebbe di significato la tangente

 

(**) per le formule di duplicazione di seno e coseno.

 

Ora dividiamo numeratore e denominatore per \cos^2{\alpha}, dopo aver supposto che \alpha \neq 90^{\circ}+k180^{\circ}. Ricaviamo così

 

\tan(2\alpha)=\frac{\frac{2\sin(\alpha)\cos(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}}{\frac{\cos^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}-\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}}  = \frac{\frac{2\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}}{1-\frac{\sin^2(\alpha)}{\cos^2(\alpha)}} = \frac{2 \tan(\alpha)}{1-\tan^2(\alpha)}  

 

Siamo così arrivati a quanto ci eravamo proposti di dimostrare!

 

 


 

Per questa lezione è tutto! Vi consigliamo di non snobbare le dimostrazioni, anche se non sono richieste dal vostro professore! Rimangono sempre un ottimo modo per allenare la mano e soprattutto la mente Tongue out

 

Buona Matematica a tutti,

Giuseppe Carichino

 

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Utile?  

 


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