Formule di addizione e sottrazione degli archi

In questa lezione, e nelle successive, vedremo nel dettaglio le principali formule trigonometriche, e inizieremo occupandoci delle formule di addizione e sottrazione delle principali funzioni goniometriche: seno, coseno e tangente. Per chi fosse interessato, ne daremo anche la dimostrazione.

 

Formule di somma e sottrazione degli archi per le funzioni goniometriche

 

Siano \alpha e \beta due angoli.

 

Formula di sottrazione del coseno

 

\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\alpha) \sin(\beta)

 

Esempio sul coseno della differenza.

 

Formula di addizione del coseno

 

\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta)

 

Esempio sul coseno della somma.

 

Formula di sottrazione del seno

 

\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) - \cos(\alpha) \sin(\beta)

 

Esempio sul seno della differenza.

 

Formula di addizione del seno

 

\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta)

 

Esempio sul seno della somma.

 

Formula di sottrazione della tangente

 

\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan(\alpha) - \tan(\beta)}{1+\tan(\alpha) \tan(\beta)}

 

con  \alpha, \ \beta, \ (\alpha-\beta) \neq 90^{\circ}+k 180^{\circ} oppure \alpha, \ \beta, \ (\alpha-\beta) \neq \frac{\pi}{2}+k \pi (a seconda che si scelgano i gradi o i radianti)

 

Esempio sulla tangente della differenza.

 

Formula di addizione della tangente

 

\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1-\tan(\alpha) \tan(\beta)}

 

con  \alpha, \ \beta, \ (\alpha+\beta) \neq 90^{\circ}+k 180^{\circ} oppure \alpha, \ \beta, \ (\alpha+\beta) \neq \frac{\pi}{2}+k \pi

 

Esempio sulla tangente della somma.

 

 


 

 

Prima di procedere (per chi fosse interessato) alla dimostrazione di queste formule, per le quali però vi consiglio almeno una lettura, voglio dirvi che sarebbe da matti pensare di ricordarle a memoria tutte. Questo perché, come di sicuro ben saprete, a queste vanno aggiunte tutte le altre formule trigonometriche... e chi più ne ha più ne metta! Cry

 

Qual è quindi il trucco? Lo stratagemma è quello di imparare a fare le dimostrazioni! Laughing

 

Scoprirete infatti che tutte le formule elencate in questa pagina (e non solo) si ricavano, con qualche semplice passaggio algebrico, dalla formula di sottrazione del coseno che è l'unica che ha una dimostrazione di tipo geometrico. Basta chiacchere, iniziamo!

 

Dimostrazioni delle formule di addizione e sottrazione degli archi

 

Dimostrazione formula sottrazione del coseno

 

Consideriamo due angoli \alpha,\beta nella circonferenza goniometrica e supponiamo che \alpha \textgreater \beta.

 

Sia, ad esempio: \widehat{AOC} = \alpha (in rosso), \widehat{AOD} = \beta (in verde) e sia quindi \widehat{COD} = \alpha - \beta (in blu).


Costruiamo poi l'angolo \widehat{AOB} = \widehat{COD} = \alpha-\beta, facendo corrispondere un lato dell'angolo con l'asse x, come mostrato in figura:

 

Dimostrazione della formula di sottrazione degli archi del coseno

 

Ora, per definizione di seno e coseno di un angolo, le coordinate dei punti A, \ B, \ C, \ D sono, rispettivamente:

 

A=(1,0) ;  B=[\cos(\alpha - \beta) , \sin(\alpha-\beta)]  ;  C=(\cos(\alpha), \sin(\alpha))  ;  D=(\cos(\beta), \sin(\beta))

 

Ricordando che, in una circonferenza, ad angoli al centro congruenti corrispondono corde congruenti, essendo \widehat{AOB} = \widehat{COD} = \alpha-\beta si ha che


\overline{AB}=\overline{CD}


Essendo note le coordinate dei punti A, \ B, \ C, \ D, ricordando la formula della distanza tra due punti:


\overline{AB}=\sqrt{[\cos(\alpha-\beta) - 1]^2 + [\sin(\alpha - \beta) - 0]^2}


\overline{CD}=\sqrt{[\cos(\alpha) - \cos(\beta)]^2 + [\sin(\alpha) - \sin(\beta)]^2}

 

Essendo le due corde congruenti abbiamo:

 

\sqrt{[\cos(\alpha - \beta) - 1]^2 + \sin^2(\alpha - \beta)} \ = \ \sqrt{[\cos(\alpha)-\cos(\beta)]^2 + [\sin(\alpha) - \sin(\beta)]^2}

 

da cui, elevando ambo i membri al quadrato (cioè togliendo le radici) e sviluppando i quadrati otteniamo:

 

\cos^2(\alpha - \beta) - 2\cos(\alpha - \beta) + 1 + \sin^2(\alpha-\beta) \ = \\ = \ \cos^2(\alpha) - 2\cos(\alpha)\cos(\beta) + \cos^2(\beta) + \sin^2(\alpha) - 2\sin(\alpha)\sin(\beta) + \sin^2(\beta)

 

Ora, dalla relazione fondamentale della trigonometria si ha

 

\cos^2(\alpha-\beta)+\sin^2(\alpha-\beta)=1; \ \ \ \cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1; \ \ \ \cos^2(\beta)+\sin^2(\beta)=1

 

che sostituiti dell'uguaglianza precedente ci daranno

 

2-2\cos(\alpha-\beta)=2-2\cos(\alpha) \cos(\beta) - 2\sin(\alpha) \sin(\beta)

 

da cui si otterrà


\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\alpha) \sin(\beta)

 

che è proprio quanto volevamo provare. Wink

 

 


 

 

Dimostrazione formula addizione del coseno


Ora che l'abbiamo dimostrata possiamo dare per vera la formula di sottrazione del coseno. Sarebbe da matti andare a rifare una dimostrazione analoga per la dimostrazione della formula di addizione...

 

Molto più semplicemente, per dimostrare che

 

\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta)

 

basta scrivere la formula di sottrazione del coseno

 

\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\alpha) \sin(\beta)

 

e sostituire al posto di \beta il valore -\beta, ottenendo:

 

\cos[\alpha - (-\beta)] = \cos(\alpha) \cos(-\beta) + \sin(\alpha) \sin(-\beta)

 

da cui, grazie alle relazioni degli angoli associati, ricordando che \cos(-\beta)=\cos(\beta) e che \sin(-\beta)=-\sin(\beta)

 

si ha:

 

\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta)

 

ovvero quello che volevamo provare!

 

 


 

 

Dimostrazione formula di addizione del seno

 

Ci proponiamo ora di dimostrare che

 

\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta)

 

Partiamo sempre dalla formula di sottrazione del coseno

 

\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\alpha) \sin(\beta)

 

e sostituiamo \alpha con 90^{\circ} - \alpha:

 

(\spadesuit) \ \ \ \cos[(90^{\circ}-\alpha) - \beta] = \cos(90^{\circ}-\alpha) \cos(\beta) + \sin(90^{\circ}-\alpha) \sin(\beta)

 

Ora:

 

\cos[(90^{\circ}-\alpha) - \beta] = \cos(90^{\circ}-\alpha -\beta) = \cos[90^{\circ}-(\alpha+\beta)]

 

e, ricordando le relazioni tra le funzioni goniometriche degli angoli associati, avremo

 

\cos[90^{\circ}-(\alpha+\beta)]=\sin(\alpha + \beta)

 

\cos(90^{\circ}-\alpha)=\sin(\alpha)

 

\sin(90^{\circ}-\alpha)=cos(\alpha)

 

sostituendo il tutto in (\spadesuit) otterremo

 

\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta)

 

che è quanto volevamo provare.

 

 


 

 

Dimostrazione formula di sottrazione del seno


Ci proponiamo ora di dimostrare che

 

\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alphga) \cos(\beta) - \cos(\alpha) \sin(\beta)

 

Partiamo dalla formula di addizione del seno

 

\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta)

 

e sostituiamo \beta con -\beta

 

\sin[\alpha + (-\beta)] = \sin(\alpha) \cos(-\beta) + \cos(\alpha) \sin(-\beta)

 

Ora dobbiamo solo ricordarci che \cos(-\beta)=\cos(\beta)  e  \sin(-\beta) = -\sin(\beta), per cui

 

\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) - \cos(\alpha) \sin(\beta)

 

Finito!

 

 


 

 

Dimostrazione formula di addizione della tangente

 

Proviamo che vale la seguente formula

 

\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1-\tan(\alpha) \tan(\beta)}

 

con  \alpha, \ \beta, \ (\alpha-\beta) \neq 90^{\circ}+k 180^{\circ} perché tali valori che farebbero perdere di significato alla tangente.

 

Per dimostrare la precedente formula basta ricordare com'è definita la tangente di un angolo. La tangente è data dal rapporto tra seno e coseno e quindi

 

\tan(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} \overbrace{=}^{(*)} \frac{\sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)}

 

dove il passaggio (*) si giustifica con le formule di addizione per seno e coseno.

 

Dividiamo numeratore e denominatore di quest'ultima frazione per \cos(\alpha)\cos(\beta). Possiamo farlo? Certamente, in quanto già all'inizio avevamo supposto \alpha, \ \beta \ \neq \ 90^{\circ}+k180, dunque siamo sicuri che il termine per cui stiamo dividendo sia sempre diverso da zero.

 

Procediamo senza problemi

 

\tan(\alpha+\beta)= \frac{\frac{\sin(\alpha) \cos(\beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)}+\frac{\cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}}{\frac{\cos(\alpha)\cos(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}-\frac{\sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}}

 

semplifichiamo

 

\tan(\alpha+\beta)= \frac{\frac{\sin(\alpha) \not{\cos(\beta)}}{\cos(\alpha) \not{\cos(\beta)}}+\frac{\not{\cos(\alpha)}\sin(\beta)}{\not{\cos(\alpha)}\cos(\beta)}}{\frac{\not{\cos(\alpha)}\not{\cos(\beta)}}{\not{\cos(\alpha)}\not{\cos(\beta)}}-\frac{\sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}} = \frac{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}+\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}{1-\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}

 

Dato che la tangente è definita come rapporto tra seno e coseno di uno stesso angolo, abbiamo quanto volevamo provare, cioè

 

\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1-\tan(\alpha) \tan(\beta)}

 

sempre con le solite condizioni di esistenza che non riporto più Tongue out

 

 


 

 

Dimostrazione formula di sottrazione della tangente

 

Dimostriamo che:

 

\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan(\alpha) - \tan(\beta)}{1+\tan(\alpha) \tan(\beta)}

 

con  \alpha, \ \beta, \ (\alpha-\beta) \neq 90^{\circ}+k 180^{\circ}.

 

Possiamo procedere come fatto per la formula di addizione, ovvero utilizzando la definizione di tangente: \tan(\alpha-\beta)=\frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha - \beta)}

 

che lascio a voi come esercizio. In alternativa possiamo partire dalla formula di addizione 

 

\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1-\tan(\alpha) \tan(\beta)}

 

e sostituire \beta con -\beta, ottenendo:

 

\tan[\alpha + (-\beta)] = \frac{\tan(\alpha) + \tan(-\beta)}{1-\tan(\alpha) \tan(-\beta)}

 

da cui, poiché

 

\tan(-\beta)=\frac{\sin(-\beta)}{\cos(-\beta)}=\frac{-\sin(\beta)}{\cos(\beta)}=-\tan(\beta)

 

si ha quanto volevamo provare.

 

 


 

That's all! In caso di dubbi, problemi o perplessità, non esitare e cerca le risposte ai tuoi dubbi qui su YM. Abbiamo risolto e spiegato migliaia di esercizi, e se ancora non bastasse potrai sempre porre la tua domanda nel Forum.

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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