Formule di addizione e sottrazione degli archi

Le formule di addizione e sottrazione degli archi per seno, coseno e tangente sono formule trigonometriche che permettono di esprimere il seno, il coseno e la tangente della somma o della differenza di due angoli come espressioni in cui gli angoli vengono separati.

 

In questa lezione, e nelle successive, vediamo nel dettaglio le principali formule trigonometriche che abbiamo elencato nel formulario di riepilogo. Iniziamo occupandoci delle formule di addizione e sottrazione degli angoli per le principali funzioni goniometriche: seno, coseno e tangente.

 

Per chi fosse interessato, nella seconda parte della lezione proponiamo la dimostrazione di tutte le formule di addizione e sottrazione degli archi.

 

Formule di somma e sottrazione degli archi per le funzioni goniometriche

 

Siano \alpha e \beta due angoli. Valgono le seguenti formule per la somma e per la differenza degli archi, o angoli.

 

Formula di sottrazione del coseno

 

\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\alpha) \sin(\beta)

 

Esempio sul coseno della differenza.

 

Formula di addizione del coseno

 

\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta)

 

Esempio sul coseno della somma.

 

Formula di sottrazione del seno

 

\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) - \cos(\alpha) \sin(\beta)

 

Esempio sul seno della differenza.

 

Formula di addizione del seno

 

\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta)

 

Esempio sul seno della somma.

 

Formula di sottrazione della tangente

 

\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan(\alpha) - \tan(\beta)}{1+\tan(\alpha) \tan(\beta)}

 

\mbox{con }\alpha, \ \beta, \ (\alpha-\beta) \neq 90^{\circ}+k 180^{\circ}\ \mbox{ oppure }\ \alpha, \ \beta, \ (\alpha-\beta) \neq \frac{\pi}{2}+k \pi, a seconda che si scelgano i gradi o i radianti.

 

Esempio sulla tangente della differenza.

 

Formula di addizione della tangente

 

\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1-\tan(\alpha) \tan(\beta)}

 

\mbox{con }\alpha, \ \beta, \ (\alpha+\beta) \neq 90^{\circ}+k 180^{\circ}\ \mbox{ oppure }\ \alpha, \ \beta, \ (\alpha+\beta) \neq \frac{\pi}{2}+k \pi

 

Esempio sulla tangente della somma.

 

 

Prima di procedere alla dimostrazione delle formule per la somma e la differenza degli angoli, un suggerimento. Ricordare a memoria il minor numero di cose possibili è cosa buona e giusta. Vi assicuriamo che, svolgendo esercizi su esercizi, riuscirete a ricordare le precedenti formule automaticamente. Prima che ciò accada dovrete però appellarvi alle vostre capacità mnemoniche, e in questo senso vi consigliamo di ricordare solamente le formule di addizione e sottrazione per seno e coseno.

 

A fronte di tale suggerimento vi facciamo notare che le formule di sommazione e sottrazione della tangente possono essere ricavate facilmente dalle precedenti ricorrendo alla definizione di tangente di un angolo.

 

\tan(\alpha\pm\beta)=\frac{\sin(\alpha\pm\beta)}{\cos(\alpha\pm\beta)}

 

Notate inoltre che non abbiamo riportato le formule per la cotangente né per secante e cosecante perché, oltre ad essere raramente necessarie negli esercizi, possono essere ricavate con la definizioni

 

\cot(\alpha\pm\beta)=\frac{\cos(\alpha\pm\beta)}{\sin(\alpha\pm\beta)}=\frac{1}{\tan(\alpha\pm\beta)}\\ \\ \\ \sec(\alpha\pm\beta)=\frac{1}{\cos(\alpha\pm\beta)}\ \ \ ;\ \ \ \csc(\alpha\pm\beta)=\frac{1}{\sin(\alpha\pm\beta)}

 

dove in ciascuno dei casi considerati andranno imposte le dovute condizioni di esistenza.

 

Utilità delle formule di addizione e sottrazione degli archi

 

Le formule per la somma e per la differenza di archi hanno un'infinità di applicazioni pratiche e si rivelano di grande utilità nel prosieguo dello studio della Matematica. Volendo individuare un ambito di maggiore utilizzo dobbiamo sicuramente menzionare la risoluzione dei problemi geometrici, intesi sia come esercizi sulle dimostrazioni teoriche che come problemi di discussione analitica (in pratica i classici problemi geometrici della seconda prova di Matematica).

 

Per il momento evitiamo ulteriori voli pindarici e vediamo un esempio terra-terra: dato che non intendiamo ricordare a memoria tutti i valori delle funzioni goniometriche, possiamo servirci delle formule di sommazione e sottrazione degli angoli per ricavarli all'occorrenza. A tal proposito ci basterà ricordare i valori in corrispondenza degli angoli notevoli e agire con furbizia.

 

Esempio di applicazione delle formule di addizione e sottrazione degli archi

 

Quanto vale il seno di 15°?

 

Svolgimento: per rispondere ci basta osservare che 15^\circ=45^\circ-30^\circ , e dunque

 

\sin(15^\circ)=\sin(45^\circ-30^\circ)=\sin(45^\circ)\cos(30^\circ)-\cos(45^\circ)\sin(30^\circ)

 

Gli angoli 30° e 45° sono da considerarsi notevoli, quindi presupponiamo di conoscere tutti i valori che compaiono a destra dell'uguale

 

\sin(15^\circ)=\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{\sqrt{2}}{2}\cdot\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{2}}{4}(\sqrt{3}-1)

 

Dimostrazioni delle formule di addizione e sottrazione degli archi

 

Passiamo alle dimostrazioni e cominciamo dalla formula di sottrazione del coseno, che è l'unica che richiede una dimostrazione di tipo geometrico. Tutte le restanti dimostrazioni verranno effettuate con semplici considerazioni algebriche.

 

 

Dimostrazione formula sottrazione del coseno

 

\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\alpha) \sin(\beta)

 

Consideriamo due angoli \alpha,\beta nella circonferenza goniometrica e supponiamo che sia \alpha>\beta. Siano ad esempio:

 

\\ \widehat{AOC} = \alpha\ \ \ (\mbox{in rosso})\\ \\ \widehat{AOD} = \beta\ \ \ (\mbox{in verde})\\ \\ \widehat{COD} = \alpha - \beta\ \ \ (\mbox{in blu})


Costruiamo l'angolo \widehat{AOB} = \widehat{COD} = \alpha-\beta, facendo corrispondere un lato dell'angolo con l'asse x, come mostrato in figura:

 

Dimostrazione della formula di sottrazione degli archi del coseno

 

Per definizione di seno e coseno di un angolo le coordinate dei punti A, \ B, \ C, \ D sono, rispettivamente:

 

\\ A=(1,0)\\ \\ B=(\cos(\alpha - \beta),\ \sin(\alpha-\beta))\\ \\ C=(\cos(\alpha),\ \sin(\alpha))\\ \\ D=(\cos(\beta),\ \sin(\beta))

 

Ricordando che in una circonferenza ad angoli al centro congruenti corrispondono corde congruenti, essendo \widehat{AOB} = \widehat{COD} = \alpha-\beta si ha che


\overline{AB}=\overline{CD}

 

Essendo note le coordinate dei punti A, \ B, \ C, \ D possiamo applicare la formula della distanza tra due punti


\\ \overline{AB}=\sqrt{[\cos(\alpha-\beta) - 1]^2 + [\sin(\alpha - \beta) - 0]^2}\\ \\ \overline{CD}=\sqrt{[\cos(\alpha) - \cos(\beta)]^2 + [\sin(\alpha) - \sin(\beta)]^2}

 

Poiché le due corde congruenti, risulta

 

\sqrt{[\cos(\alpha - \beta) - 1]^2 + \sin^2(\alpha - \beta)} \ = \ \sqrt{[\cos(\alpha)-\cos(\beta)]^2 + [\sin(\alpha) - \sin(\beta)]^2}

 

da cui, elevando ambo i membri al quadrato e sviluppando i quadrati, otteniamo

 

\\ \cos^2(\alpha - \beta) - 2\cos(\alpha - \beta) + 1 + \sin^2(\alpha-\beta) \ = \\ \\ = \ \cos^2(\alpha) - 2\cos(\alpha)\cos(\beta) + \cos^2(\beta) + \sin^2(\alpha) - 2\sin(\alpha)\sin(\beta) + \sin^2(\beta)

 

A questo punto facciamo intervenire la relazione fondamentale della trigonometria, in forza della quale valgono le seguenti identità

 

\\ \cos^2(\alpha-\beta)+\sin^2(\alpha-\beta)=1\\ \\ \cos^2(\alpha)+\sin^2(\alpha)=1\\ \\ \cos^2(\beta)+\sin^2(\beta)=1

 

Sostituiamo tali espressioni nella precedente uguaglianza

 

2-2\cos(\alpha-\beta)=2-2\cos(\alpha) \cos(\beta) - 2\sin(\alpha) \sin(\beta)

 

da cui ricaviamo

 

\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\alpha) \sin(\beta)

 

che è proprio ciò che volevamo dimostrare.

 

 

Dimostrazione formula addizione del coseno


Avendo dimostrato la formula di sottrazione del coseno possiamo darla per assodata nella formulazione delle dimostrazioni successive. Nulla ci vieterebbe di effettuare una dimostrazione analoga per la formula di addizione, ma non avrebbe molto senso... ;)

 

Molto più semplicemente, per dimostrare che

 

\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta)

 

basta scrivere la formula di sottrazione del coseno

 

\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\alpha) \sin(\beta)

 

e sostituire al posto di \beta il valore -\beta, ottenendo:

 

\cos[\alpha - (-\beta)] = \cos(\alpha) \cos(-\beta) + \sin(\alpha) \sin(-\beta)

 

da cui, grazie alle relazioni degli angoli associati

 

\\ \cos(-\beta)=\cos(\beta)\\ \\ \sin(-\beta)=-\sin(\beta)

 

riusciamo a scrivere

 

\cos(\alpha + \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) - \sin(\alpha) \sin(\beta)

 

ossia quello che volevamo provare.

 

Dimostrazione formula di addizione del seno

 

Ci proponiamo ora di dimostrare che

 

\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta)

 

Partiamo sempre dalla formula di sottrazione del coseno

 

\cos(\alpha - \beta) = \cos(\alpha) \cos(\beta) + \sin(\alpha) \sin(\beta)

 

e sostituiamo \alpha\ \to\ 90^{\circ} - \alpha

 

(\spadesuit) \ \ \ \cos[(90^{\circ}-\alpha) - \beta] = \cos(90^{\circ}-\alpha) \cos(\beta) + \sin(90^{\circ}-\alpha) \sin(\beta)

 

Ora applichiamo un piccolo trucchetto algebrico:

 

\cos[(90^{\circ}-\alpha) - \beta] = \cos(90^{\circ}-\alpha -\beta) = \cos[90^{\circ}-(\alpha+\beta)]

 

e, ricordando le relazioni tra le funzioni goniometriche degli angoli associati, scriviamo

 

\\ \cos[90^{\circ}-(\alpha+\beta)]=\sin(\alpha + \beta)\\ \\ \cos(90^{\circ}-\alpha)=\sin(\alpha)\\ \\ \sin(90^{\circ}-\alpha)=\cos(\alpha)

 

Sostituendo il tutto in (\spadesuit) otterremo

 

\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta)

 

che è quanto volevamo dimostrare.

 

 

Dimostrazione formula di sottrazione del seno


Ci proponiamo ora di dimostrare che

 

\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) - \cos(\alpha) \sin(\beta)

 

Partiamo dalla formula di addizione del seno

 

\sin(\alpha + \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) + \cos(\alpha) \sin(\beta)

 

e sostituiamo \beta\ \to\ -\beta

 

\sin[\alpha + (-\beta)] = \sin(\alpha) \cos(-\beta) + \cos(\alpha) \sin(-\beta)

 

Ora dobbiamo solo ricordarci le formule per gli archi associati

 

\\ \cos(-\beta)=\cos(\beta)\\ \\ \sin(-\beta) = -\sin(\beta)

 

per cui

 

\sin(\alpha - \beta) = \sin(\alpha) \cos(\beta) - \cos(\alpha) \sin(\beta)

 

Finito!

 

 

Dimostrazione formula di addizione della tangente

 

Proviamo che vale la seguente formula

 

\\ \tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1-\tan(\alpha) \tan(\beta)}\\ \\ \\ \mbox{con }\alpha, \ \beta, \ (\alpha+\beta) \neq 90^{\circ}+k 180^{\circ}

 

Si noti che i valori esclusi per le ampiezze degli angoli farebbero perdere di significato alla tangente.

 

Per dimostrare la precedente formula basta ricordare com'è definita la tangente di un angolo. La tangente è data dal rapporto tra seno e coseno e quindi

 

\tan(\alpha + \beta) = \frac{\sin(\alpha+\beta)}{\cos(\alpha+\beta)} \overbrace{=}^{(*)} \frac{\sin(\alpha)\cos(\beta) + \cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta) - \sin(\alpha)\sin(\beta)}

 

dove il passaggio (*) si giustifica con le formule di addizione per seno e coseno.

 

Dividiamo numeratore e denominatore di quest'ultima frazione per \cos(\alpha)\cos(\beta). Possiamo farlo? Certamente, in quanto già all'inizio avevamo supposto \alpha, \ \beta \ \neq \ 90^{\circ}+k180, dunque siamo sicuri che il termine per cui stiamo dividendo sia sempre diverso da zero.

 

\tan(\alpha+\beta)= \frac{\frac{\sin(\alpha) \cos(\beta)}{\cos(\alpha) \cos(\beta)}+\frac{\cos(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}}{\frac{\cos(\alpha)\cos(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}-\frac{\sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}}

 

Semplifichiamo

 

\tan(\alpha+\beta)= \frac{\frac{\sin(\alpha) \not{\cos(\beta)}}{\cos(\alpha) \not{\cos(\beta)}}+\frac{\not{\cos(\alpha)}\sin(\beta)}{\not{\cos(\alpha)}\cos(\beta)}}{\frac{\not{\cos(\alpha)}\not{\cos(\beta)}}{\not{\cos(\alpha)}\not{\cos(\beta)}}-\frac{\sin(\alpha)\sin(\beta)}{\cos(\alpha)\cos(\beta)}} = \frac{\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}+\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}{1-\frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)}\frac{\sin(\beta)}{\cos(\beta)}}

 

Dato che la tangente è definita come rapporto tra seno e coseno di uno stesso angolo, abbiamo concluso la dimostrazione

 

\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1-\tan(\alpha) \tan(\beta)}

 

soggetta alle condizioni di esistenza di cui sopra.

 

 

Dimostrazione formula di sottrazione della tangente

 

Dimostriamo che:

 

\\ \tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan(\alpha) - \tan(\beta)}{1+\tan(\alpha) \tan(\beta)}\\ \\ \\ \mbox{con }\alpha, \ \beta, \ (\alpha-\beta) \neq 90^{\circ}+k 180^{\circ}

 

Possiamo procedere come fatto per la formula di addizione, ovvero utilizzando la definizione di tangente:

 

\tan(\alpha-\beta)=\frac{\sin(\alpha - \beta)}{\cos(\alpha - \beta)}

 

Lasciamo a voi il compito di effettuare tale dimostrazione come esercizio. In alternativa possiamo partire dalla formula di addizione 

 

\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan(\alpha) + \tan(\beta)}{1-\tan(\alpha) \tan(\beta)}

 

e sostituire \beta\ \to\ -\beta, ottenendo:

 

\tan[\alpha + (-\beta)] = \frac{\tan(\alpha) + \tan(-\beta)}{1-\tan(\alpha) \tan(-\beta)}

 

Osservando che

 

\tan(-\beta)=\frac{\sin(-\beta)}{\cos(-\beta)}=\frac{-\sin(\beta)}{\cos(\beta)}=-\tan(\beta)

 

si ha la tesi.

 

 


 

È tutto! Se volete esercitarvi c'è una scheda di esercizi svolti che vi aspetta; se volete una panoramica sulle formule trigonometriche, vi rimandiamo al formulario del link. In caso di dubbi, problemi o perplessità, ricordate che potete reperire tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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