Esercizi sul passaggio dalla forma algebrica alla forma esponenziale e viceversa

In questa scheda vi proponiamo una serie di esercizi sul passaggio dalla rappresentazione algebrica alla forma esponenziale dei numeri complessi, e viceversa.

 

Ci limiteremo a fornire le sole soluzioni degli esercizi proposti, dal momento che nella lezione correlata sul passaggio dalla forma algebrica alla forma esponenziale di un numero complesso abbiamo spiegato come procedere e visto degli esempi accuratamente svolti. ;)

 

Esercizi sul passaggio dalla forma cartesiana a quella esponenziale di un numero complesso

 

Dati i seguenti numeri complessi in forma cartesiana ricavarne la forma esponenziale.

 

1) z=\sqrt{3}-i

 

2) z=-3-3i

 

3) z=-\sqrt{2}i

 

4) z=12

 

5) z=-1+\sqrt{3}i

 

6) z=-\sqrt{3}+i

 

7)z=-\frac{1}{4}+\frac{\sqrt{3}}{4}i

 

8) z=\frac{5}{2}+\frac{5}{2}\sqrt{3}i

 

9) z=\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i

 

10) z=24i

 

 

Soluzioni

 

La forma esponenziale di un numero complesso è data da

 

z=re^{i\theta}

 

dove r \mbox{ e } \theta rappresentano, rispettivamente, modulo ed argomento del numero complesso z che occorre ricavare partendo dalla forma algebrica che abbiamo assegnato.

 

Attenzione: in alcuni casi il risultato può variare a seconda dell'intervallo in cui varia il modulo \theta. Vi forniremo quindi entrambi i risultati, sia per \theta \in (-\pi,\pi] sia per \theta \in (0,2\pi].

 

1) \mbox{Per } \theta \in (-\pi,\pi]: \ z=2e^{-\frac{\pi}{6}i}.\ \ \mbox{Per } \theta \in (0,2\pi]: \ z=2e^{\frac{11}{6}\pi i}

 

2) \mbox{Per } \theta \in (-\pi,\pi]: \ z=3\sqrt{2}e^{-\frac{3}{4}\pi i}.\ \ \mbox{Per } \theta \in (0,2\pi]: \ z=3\sqrt{2}e^{\frac{5}{4}\pi i}

 

3) \mbox{Per } \theta \in (-\pi,\pi]: \ z=\sqrt{2}e^{-\frac{\pi}{2} i}.\ \ \mbox{Per } \theta \in (0,2\pi]: \ z=\sqrt{2}e^{\frac{3}{2}\pi i}

 

4) z=12e^{0 i}

 

5) z=2e^{\frac{2}{3}\pi i}

 

6) z=2e^{\frac{5}{6}\pi i}

 

7) z=\frac{1}{2}e^{\frac{2}{3}\pi i}

 

8) z=5 e^{\frac{\pi}{3} i}

 

9) \mbox{Per } \theta \in (-\pi,\pi]: \ z=e^{-\frac{\pi}{3} i}.\ \ \mbox{Per } \theta \in (0,2\pi]: \ z=e^{\frac{5}{3}\pi i}

 

10) z=24 e^{\frac{\pi}{2} i}

 

Esercizi sul passaggio dalla forma esponenziale a quella algebrica di un numero complesso

 

Scrivi in forma cartesiana i seguenti numeri complessi dati in forma esponenziale.

 

1) z=\sqrt{2} e^{-\frac{\pi}{4}i}

 

2) z=\frac{1}{2}e^{\frac{11}{6}\pi i}

 

3) z=e^{\frac{3}{4}\pi i}

 

4) z=\frac{\sqrt{3}}{2}e^{\frac{3}{2}\pi i}

 

5) z=16 e^{-\frac{\pi}{3} i}

 

6) z=3 e^{2\pi i}

 

7) z=\sqrt{3}e^{-\frac{4}{3}\pi i}

 

8) z=4 e^{\frac{\pi}{12}i}

 

9) z=e^{\frac{5}{6}\pi i}

 

10) z=14 e^{-\frac{7}{6}\pi i}

 

 

Soluzioni

 

1) z=1-i

 

2) z=\frac{\sqrt{3}}{4}-\frac{1}{4}i

 

3) z=-\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}i

 

4) z=-\frac{\sqrt{3}}{2}i

 

5) z=8-8\sqrt{3}i

 

6) z=3

 

7) z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{3}{2}i

 

8) z=\sqrt{2}+\sqrt{6}+i\left(\sqrt{6}-\sqrt{2}\right)

 

9) z=-\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{1}{2}i

 

10) z=-7\sqrt{3}+7i

 

 


 

È tutto! In caso di dubbi, se non l'aveste già fatto, vi consigliamo di dare un'occhiata alla lezione correlata. ;)

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione correlata


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