Esercizi sul passaggio dalla forma algebrica alla forma trigonometrica e viceversa

In questa scheda vi proponiamo una serie di esercizi in cui scrivere in forma trigonometrica i numeri complessi assegnati in forma algebrica e, viceversa, dati alcuni numeri complessi in forma trigonometrica ricavarne la rappresentazione cartesiana.

 

In questa scheda ci limiteremo a fornire le sole soluzioni degli esercizi proposti. In caso di dubbi vi consigliamo, se non l'avessi già fatto, di leggere la lezione correlata sul passaggio dalla forma algebrica alla forma trigonometrica di un numero complesso e viceversa, dove, oltre alla spiegazione dettagliata su come procedere, troverai degli esempi accuratamente svolti. ;)

 

Esercizi sul passaggio dalla forma cartesiana a quella trigonometrica di un numero complesso

 

Scrivere in forma trigonometrica i seguenti numeri complessi in forma algebrica.

 

1) z=-1+\sqrt{3}i

 

2) z=3+3i

 

3) z=-8

 

4) z=2i

 

5) z=\sqrt{3}+i

 

6) z=\sqrt{3}-i

 

7) z=-\frac{\sqrt{3}}{4}+\frac{1}{4}i

 

8) z=-\frac{5}{2}\sqrt{3}-\frac{5}{2}i

 

9) z=-\frac{\sqrt{3}}{2}-\frac{1}{2}i

 

10) z=-7i

 

 

Soluzioni

 

Per ricavare la forma trigonometrica di un numero complesso non bisogna far altro che determinarne modulo e argomento.

 

Badate bene che, in alcuni casi, il risultato può variare a seconda dell'intervallo in cui varia il modulo \theta. Vi forniamo quindi entrambi i risultati, sia per \theta \in (-pi,\pi] che per \theta \in (0,2\pi].

 

1) \mbox{ Per } \theta \in (-\pi, \pi]: \ z=2\left[\cos\left(\frac{2}{3}\pi\right)+i\sin\left(\frac{2}{3}\pi\right)\right].

 

Stessa forma trigonometrica per \theta \in (0,2\pi].

 

2) \mbox{ Per } \theta \in (-\pi, \pi]: \ z=3\sqrt{2}\left[\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right].

 

Stessa forma trigonometrica per \theta \in (0,2\pi].

 

3) \mbox{ Per } \theta \in (-\pi, \pi]: \ z=8\left[\cos\left(\pi\right)+i\sin\left(\pi\right)\right].

 

Stessa forma trigonometrica per \theta \in (0,2\pi].

 

4) \mbox{ Per } \theta \in (-\pi, \pi]: \ z=2\left[\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right].

 

Stessa forma trigonometrica per \theta \in (0,2\pi].

 

5) \mbox{ Per } \theta \in (-\pi, \pi]: \ z=2\left[\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right].

 

Stessa forma trigonometrica per \theta \in (0,2\pi].

 

6) \mbox{ Per } \theta \in (-\pi, \pi]: \ z=2\left[\cos\left(-\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{6}\right)\right].

 

\mbox{ Per } \theta \in (0, 2\pi]: \ z=2\left[\cos\left(\frac{11}{6}\pi\right)+i\sin\left(\frac{11}{6}\pi\right)\right].

 

7) \mbox{ Per } \theta \in (-\pi, \pi]: \ z=\frac{1}{2}\left[\cos\left(\frac{5}{6}\pi\right)+i\sin\left(\frac{5}{6}\pi\right)\right].

 

Stessa forma trigonometrica per \theta \in (0,2\pi].

 

8) \mbox{ Per } \theta \in (-\pi, \pi]: \ z=5\left[\cos\left(-\frac{5}{6}\pi\right)+i\sin\left(-\frac{5}{6}\pi\right)\right].

 

\mbox{ Per } \theta \in (0, 2\pi]: \ z=5\left[\cos\left(\frac{7}{6}\pi\right)+i\sin\left(\frac{7}{6}\pi\right)\right].

 

9) \mbox{ Per } \theta \in (-\pi, \pi]: \ z=\left[\cos\left(-\frac{5}{6}\pi\right)+i\sin\left(-\frac{5}{6}\pi\right)\right].

 

\mbox{ Per } \theta \in (0, 2\pi]: \ z=\left[\cos\left(\frac{7}{6}\pi\right)+i\sin\left(\frac{7}{6}\pi\right)\right].

 

10) \mbox{ Per } \theta \in (-\pi, \pi]: \ z=7\left[\cos\left(-\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(-\frac{\pi}{2}\right)\right].

 

\mbox{ Per } \theta \in (0, 2\pi]: \ z=7\left[\cos\left(\frac{3}{2}\pi\right)+i\sin\left(\frac{3}{2}\pi\right)\right].

 

Esercizi sul passaggio dalla forma trigonometrica a quella algebrica di un numero complesso

 

Scrivere in forma cartesiana i seguenti numeri complessi dati in forma trigonometrica.

 

1) z=2\left[\cos\left(\frac{\pi}{4}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{4}\right)\right]

 

2) z=7\left[\cos\left(\frac{5}{4}\pi\right)+i\sin\left(\frac{5}{4}\pi\right)\right]

 

3) z=\left[\cos\left(\frac{2}{3}\pi\right)+i\sin\left(\frac{2}{3}\pi\right)\right]

 

4) z=\pi\left[\cos\left(\frac{3}{2}\pi\right)+i\sin\left(\frac{3}{2}\pi\right)\right]

 

5) z=12\left[\cos\left(\frac{\pi}{6}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{6}\right)\right]

 

6) z=24\left[\cos\left(0\right)+i\sin\left(0\right)\right]

 

7) z=\sqrt{3}\left[\cos\left(\frac{3}{4}\pi\right)+i\sin\left(\frac{3}{4}\pi\right)\right]

 

8) z=\sqrt{2}\left[\cos\left(\frac{\pi}{3}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{3}\right)\right]

 

9) z=12\left[\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+i\sin\left(\frac{\pi}{2}\right)\right]

 

10) z=5\left[\cos\left(\frac{7}{6}\pi\right)+i\sin\left(\frac{7}{6}\pi\right)\right]

 

 

Soluzioni

 

1) z=\sqrt{2}+i\sqrt{2}

 

2) z=-\frac{7}{2}\sqrt{2}-\frac{7}{2}\sqrt{2}i

 

3) z=-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i

 

4) z=-\pi i

 

5) z=6\sqrt{3}+6i

 

6) z=24

 

7) z=-\frac{\sqrt{6}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}i

 

8) z=\frac{\sqrt{2}}{2}+\frac{\sqrt{6}}{2}i

 

9) z=12i

 

10) z=-\frac{5}{2}\sqrt{3}-\frac{5}{2}i

 

 


 

Per il momento è tutto! In caso di dubbi, problemi o perplessità varie vi consigliamo un'attenta lettura alla lezione correlata e, se non dovesse bastare o se foste alla ricerca di altri esercizi, vi invitiamo ad utilizzare la barra di ricerca (in alto a destra in ogni pagina). ;)

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione correlata


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