Esercizi sul numero di soluzioni delle equazioni

Gli esercizi risolti sul numero di soluzioni delle equazioni non risolvibili algebricamente, dette anche equazioni trascendenti, propongono una richiesta molto specifica e abbastanza chiara: determinare il numero di soluzioni (e non le soluzioni) di una data equazione.

 

Probabilmente starete pensando che non sia una tipologia di esercizi rilevanti, e che potrete cavarvela risolvendole e contando successivamente il numero di soluzioni: sbagliato in entrambi i casi! ;) Purtroppo non è così che funziona, perché le equazioni proposte non possono essere risolte algebricamente. In altri termini nessuno dei metodi di risoluzione delle equazioni a noi noti consente di determinarne le soluzioni.

 

Qui subentra la prima, vera applicazione dello studio di funzione: si adotta un approccio analitico per risolvere un problema di natura algebrica. Il metodo da utilizzare tra l'altro è del tutto analogo a quello che consente di studiare le soluzioni delle disequazioni trascendenti.

 

Esercizi risolti sul numero di soluzioni delle equazioni non risolvibili algebricamente

 

A meno che non sia diversamente indicato, i seguenti esercizi richiedono di determinare il numero delle soluzioni delle equazioni trascendenti proposte. Attenzione: il numero di soluzioni e non le soluzioni, perché salvo rare eccezioni sono numeri irrazionali e non possono essere determinate in modo esatto.

 

Volendo dopo aver contato ed individuato spannometricamente le soluzioni è possibile appoggiarsi ad altri metodi analitici per fornirne un'approssimazione, ma non è questo il nostro scopo per il momento.

 

 

Primo gruppo

 

Il primo gruppo di esercizi richiede di determinare il numero di soluzioni delle equazioni proposte applicando il metodo grafico. In altre parole il conteggio del numero di soluzioni si riduce alla lettura di un grafico opportunamente disegnato.

 

I) Stabilire il numero di soluzioni della seguente equazione sull'intervallo [-1,1]

 

e^x=5x+1

 

II) Trovare le radici dell'equazione \sin{\left(x\right)}=\frac{1}{x} nell'intervallo [-4\pi,4\pi].

 

III) Calcolare il numero di soluzioni dell'equazione

 

x^3 - \sqrt{x + 1} = 0

 

IV) Determinare graficamente il numero di soluzioni dell'equazione

 

\cos(x)=x

 

V) Stabilire il numero esatto di zeri della funzione

 

f(x) = \ln(x) - \arctan(x-1)

 

VI) Determinare il numero di soluzioni dell'equazione

 

x - 2x^2 + e^x = 0

 

VII) Stabilire il numero di soluzioni dell'equazione

 

\log(x)+x^2+x=0

 

VIII) Determinare il numero di soluzioni all'equazione f(x)=0, dove:

 

f(x)=log(x^3) + 3x^2 - 9x +6

 

IX) Determinare il numero di soluzioni della seguente equazione al variare del parametro reale t

 

\log^4(x) -2\log^2(x) -t =0

 

X) Data l'equazione

 

x^{6}+ax^{4}+1=0

 

studiare il numero di soluzioni reali al variare del parametro a \in \mathbb{R}.

 

XI) Determinare il numero di soluzioni della seguente equazione al variare del parametro reale \alpha

 

x\ln{|x-1|}=\alpha

 

XII) Studiare il numero di soluzioni, al variare del parametro reale k, della seguente equazione

 

\log_{10}(|(x^2+2x)|)+ k = 0

 

 

Secondo gruppo

 

Il secondo gruppo di esercizi è una specie di procedimento abbreviato rispetto al primo, e serve ad allenare una capacità importante in Matematica: ridurre gli sforzi al minimo. In alcuni casi è infatti possibile contare le soluzioni senza effettuare studi di funzione completi, ma limitarsi con un po' di esperienza al minimo numero di considerazioni analitiche che ci consentano di raggiungere conclusioni certe. ;)

 

XIII) Determinare il numero di soluzioni dell'equazione \ln(x)=5x+1 nell'intervallo [1,e].

 

XIV) Dire, motivando la risposta, se nell'intervallo \left(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2}\right) ha una soluzione l'equazione: 


f(x)=\tan(x)+4x-2

 

e in caso affermativo stabilire se tale soluzione è unica.

 

XV) Data la funzione

 

f(x)=\log(e^{2x}-5e^x+4)

 

determinare il dominio della funzione f. Studiare al variare del parametro t\in\mathbb{R} il numero di soluzioni dell'equazione

 

f(x)=t

 

e stabilire se la funzione f ammette asintoti.

 

XVI) Determinare, al variare del parametro a, il numero delle soluzioni della seguente equazione:

 

a \ln(x) -x^2 -a=0

 

XVII) Studiare il numero di soluzioni della seguente equazione al variare del parametro k

 

x^2-2(3k+1)x+k^2-3k-4=0

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Numero di soluzioni di un'equazione non risolvibile, su un intervallo e con metodo grafico

 

II) Equazione trascendente e dibattito sul metodo grafico

 

III) Esercizio sul numero di soluzioni di un'equazione non risolvibile algebricamente

 

IV) Numero di soluzioni di un'equazione con il metodo grafico

 

V) Numero di zeri di una funzione

 

VI) Esercizio sul numero di soluzioni di un'equazione trascendente con il metodo grafico

 

VII) Esercizio proposto con equazione trascendente e descrizione del metodo

 

VIII) Esercizio proposto su numero di soluzioni ed equazione trascendente

 

IX) Esercizio sulle soluzioni di un'equazione al variare di un parametro

 

X) Numero di soluzioni di un'equazione parametrica

 

XI) Numero di soluzioni di un'equazione parametrica con metodo delle rette orizzontali

 

XII) Equazione parametrica con logaritmo e modulo

 

XIII) Esercizio sul numero di soluzioni di un'equazione su un intervallo con metodo analitico

 

XIV) Numero di soluzioni di un'equazione trascendente con considerazioni analitiche

 

XV) Esercizio sul numero di soluzioni di un'equazione come luogo di zeri di una funzione

 

XVI) Numero di soluzioni di un'equazione trascendente con parametro

 

XVII) Esercizio sul numero di soluzioni di un'equazione parametrica di secondo grado

 

 

Lezione correlata


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