Esercizi punti isolati

Prova a risolvere i seguenti esercizi e a determinare, se esistono, i punti isolati dei seguenti insiemi. Se non lo hai fatto, ti consigliamo di leggere l'articolo punti isolati. Ricordati che è sufficiente trovare almeno un intorno di un punto x_{0} che non contenga altri punti dell'insieme considerato, per affermare che x_{0} è isolato.

 

Il primo esercizio è svolto, e in fondo trovi le soluzioni.

 

Esercizi sui punti isolati


0) E=\left\{\frac{n}{n+1}\mbox{ con }n\in\mathbb{N}\right\}.


Svolgimento: se hai letto la scheda di esercizi sui punti di accumulazione saprai di certo che l'unico punto di accumulazione dell'insieme E è 1. Tutti i punti dell'insieme sono isolati, e per vederlo facciamo la prova su un generico elemento: prendiamo quindi una n generica e il punto corrispondente \frac{n}{n+1}.

 

I punti di E più vicini ad esso sono \frac{n+1}{(n+1)+1} e \frac{n-1}{(n-1)+1}, dunque se consideriamo le loro distanze dal \frac{n}{n+1}

 

c=\frac{n+1}{(n+1)+1}-\frac{n}{n+1},\ \ \ d=\frac{n}{n+1}-\frac{n-1}{(n-1)+1}

 

tali distanze saranno due numeri (immaginando di prendere un determinato n) e ci basterà considerare un intorno B(\frac{n}{n+1},\varepsilon) con \varepsilon<c e \varepsilon<d.

 

Questo ci assicura che \frac{n}{n+1} è un punto isolato!

 

Per avere un'idea più precisa, se consideriamo ad esempio il punto \frac{4}{5} (ottenuto per n=4) allora gli elementi di E più vicini ad esso saranno \frac{3}{4}\mbox{ e }\frac{5}{6} (ottenuti per n=3 e 5 rispettivamente).

 

Le relative distanze saranno quindi \frac{1}{20}\mbox{ e }\frac{1}{30}: prendendo l'intorno B(\frac{4}{5},\frac{1}{31}) abbiamo la garanzia che \frac{4}{5} è un punto isolato.

 

 

I) E=\left\{\frac{n+2}{n}\mbox{ con }n\in\mathbb{N}\mbox{, zero escluso}\right\}

 

II) E=\left\{(-1)^{n}\mbox{ con }n\in\mathbb{N}\right\} [potresti elencare gli elementi dell'insieme...]

 

III) E=\left\{\frac{n^2-1}{n+1}\mbox{ con }n\in\mathbb{N}\right\} [Il numeratore ti ricorda qualcosa?]

 

IV) E=(2,3)

 

V) E=(-1,5]\cup\{-2,8,\frac{21}{2}\}

 

VI) E=\left\{\frac{n^2}{n^2-1}\mbox{ con }n\in\mathbb{N}\mbox{, uno escluso}\right\}

 

VII) E=\left\{1,2,3,4,5\right\}

 

VIII) E=\left\{\frac{1}{2^n}+2\mbox{ con }n\in\mathbb{N}\mbox{, zero escluso}\right\}

 

IX) E=\left\{\frac{\ln(n)}{n}\mbox{ con }n\in\mathbb{N}\mbox{, zero escluso}\right\}

 

X) E=\left\{\frac{n^3+1}{n}\mbox{ con }n\in\mathbb{N}\mbox{, zero escluso}\right\}

 


 

Soluzioni:

 

I) Tutti gli elementi di E;

 

II) +1 e -1, cioè tutti gli elementi di E;

 

III) Tutti gli elementi di E;

 

IV) Non ci sono punti isolati;

 

V) -2, 8, \frac{21}{2};

 

VI) Tutti gli elementi di E;

 

VII) 1, 2, 3, 4, 5;

 

VIII) Tutti gli elementi di E;

 

IX) Tutti gli elementi di E;

 

X) Tutti gli elementi di E.




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Buon lavoro!

Agente Ω

 

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