Esercizi punti di accumulazione

Prova a risolvere i seguenti esercizi sui punti di accumulazione. La consegna è molto semplice: determinare, se esistono, i punti di accumulazione degli insiemi che seguono. Se non lo hai fatto, ti consigliamo di leggere l'articolo punti di accumulazione.

 

In fondo trovi le soluzioni: e dato che questo tipo di esercizi potrebbe essere nuovo per te, nel primo ti diamo le linee guida per lo svolgimento tipo.

 

Esercizi sui punti di accumulazione


0) E=\left\{\frac{n}{n+1}\mbox{ con }n\in\mathbb{N}\right\}.

 

Svolgimento: prima di tutto cerchiamo di dare una faccia agli elementi dell'insieme, e quindi prendiamo i vari n\in\mathbb{N} e li sostituisco nell'espressione. Trovo E=\left\{\frac{1}{2}, \frac{2}{3}, \frac{3}{4}, \dots\right\}.


Noto che i valori degli elementi crescono, e che il minimo di tale insieme è dunque dato da \frac{1}{2}.


Come si comportano gli elementi di E per valori crescenti di n? Per capirlo, con un piccolo trucchetto algebrico, si vede che

 

\frac{n}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=\frac{n+1}{n+1}-\frac{1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}

 

e ne deduciamo che per quanto grande prenderemo n gli elementi di E non supereranno il valore 1 (gli n infatti sono positivi e stiamo sottraendo una quantità positiva ad 1).
Se consideriamo un generico elemento dell'insieme E, quindi della forma \frac{n}{n+1}, non può essere di accumulazione. L'idea si intuisce guardando ad esempio il primo elemento \frac{1}{2}, che ha come elemento più vicino \frac{2}{3} e quindi un qualsiasi intorno con raggio minore di \frac{2}{3}-\frac{1}{2}=\frac{1}{6}  e centrato in \frac{1}{2} non può contenere elementi di E.


Un analogo ragionamento ci dice che gli altri elementi dell'insieme non sono di accumulazione: basta confrontare un elemento qualsiasi con i due elementi più vicini, calcolare la minima distanza e prendere un intorno di raggio minore alla minima distanza.


L'unico punto candidato ad essere di accumulazione per E è proprio 1, che peraltro non appartiene all'insieme! E proprio 1 è punto di accumulazione per E, infatti prendendo un generico intorno B(1,\varepsilon) vogliamo vedere se esiste un elemento di E tale che sia \frac{n}{n+1}>1-\varepsilon.


Ci basta risolvere la disequazione. Non dimentichiamoci che n è un numero naturale, quindi n+1 è una quantità positiva. Moltiplicando entrambi i membri per n+1 otteniamo

 

n>(n+1)-\varepsilon(n+1) [risolvo rispetto a n]

 

-\varepsilon n-\varepsilon+1<0

 

n>\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon}

 

Quindi comunque prendiamo un intornoB(1,\varepsilon) troviamo almeno un elemento (e quindi infiniti) che cadono nell'intorno stesso, oltre a 1. A tal fine ci basterà scegliere un indice n>\frac{1-\varepsilon}{\varepsilon}.

 

A titolo di cronaca, nell'esempio abbiamo considerato un particolare tipo di insieme: una successione di numeri reali. ;)

 

 

I) E=\left\{\frac{n+2}{n}\mbox{ con }n\in\mathbb{N}\mbox{, zero escluso}\right\} [potresti provare a spezzare il numeratore...]

 

II) E=\left\{(-1)^{n}\mbox{ con }n\in\mathbb{N}\right\} [potresti elencare gli elementi dell'insieme]

 

III) E=\left\{\frac{n^2-1}{n+1}\mbox{ con }n\in\mathbb{N}\right\} [Il numeratore ti ricorda qualcosa?]

 

IV) E=(2,3)

 

V) E=(-1,5]\cup\{-2,8,\frac{21}{2}\}

 

VI) E=\left\{\frac{n^2}{n^2-1}\mbox{ con }n\in\mathbb{N}\mbox{, uno escluso}\right\} [potresti fare qualche magheggio algebrico a numeratore...]

 

VII) E=\left\{1,2,3,4,5\right\}

 

VIII) E=\left\{\frac{1}{2^n}+2\mbox{ con }n\in\mathbb{N}\mbox{, zero escluso}\right\} [Come si comportano gli elementi della successione?]

 

IX) E=\left\{\frac{\ln(n)}{n}\mbox{ con }n\in\mathbb{N}\mbox{, zero escluso}\right\} [Come si comportano gli elementi della successione?]

 

X) E=\left\{\frac{n^3+1}{n}\mbox{ con }n\in\mathbb{N}\mbox{, zero escluso}\right\} [come si comportano gli elementi della successione?]

 


 

Soluzioni:

 

I) 1;

 

II) Non ce n'è;

 

III) Non ce n'è;

 

IV) Tutti i punti dell'intervallo, e anche 2 e 3;

 

V) I punti dell'intervallo (-1,5] e anche i suoi estremi -1 e 5;

 

VI) 1;

 

VII) Non ce n'è;

 

VIII) 2;

 

IX) 0 [n è sempre più grande del corrispondente ln(n)];

 

X) Non ce n'è.




Se hai bisogno di aiuto, di uno svolgimento o di un chiarimento, se vuoi consultare altri esercizi, sappi che puoi sempre cercare qui su YM con l'apposita barra di ricerca ed eventualmente porre le tue domande nel Forum.

 

Buon lavoro!

Agente Ω

 

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