Funzioni limitate e illimitate, esercizi

Ecco a voi un po' di esercizi sulla limitatezza e sull'illimitatezza delle funzioni. La richiesta è semplice: stabilire se le seguenti funzioni sono limitate (superiormente, inferiormente, sia superiormente che inferiormente), o illimitate sui domini specificati.

 

Trovate la teoria necessaria per risolvere gli esercizi nell'articolo funzioni limitate e illimitate.

 

How to per gli esercizi su funzioni limitate e illimitate


Tenete sempre a mente che la limitatezza/illimitatezza di una funzione è definita a partire dalla limitatezza/illimitatezza della sua immagine. Si tratta quindi di capire se un determinato insieme (per l'appunto l'immagine della funzione sull'insieme di definizione considerato) sia limitato o illimitato.

 

Metodo 1: questi esercizi possono essere affrontati in due modi. Per funzioni semplici potete cercare di immaginare l'andamento della funzione tracciandone un grafico intuitivo e stabilire se sugli intervalli che abbiamo indicato nell'esercizio è limitata o meno. (A proposito, se volete vedere quanto è accettabile il grafico da voi proposto potete servirvi del tool per il grafico di funzione online).

 

In generale:


  1. determinate il dominio della funzione
  2. Scomponetela in parti semplici che vi permettano di disegnare il grafico intuitivo (ricordandovi che somme di funzioni limitate sono limitate, fate attenzione al dominio o agli intervalli che trovate negli esercizi!).
  3. Confrontate il grafico ottenuto con gli intervalli indicati.

 

Metodo 2: come sempre in Matematica potete utilizzare strumenti più sofisticati, a patto di avere un po' di dimestichezza e soprattutto di averli già studiati. Se siete già in grado di svolgere la procedura per lo studio di funzione, nulla vi vieta di ricorrere ad essa...anche se in certi casi equivarrebbe a spezzare un grissino con un carro armato! Tongue out

 

Esercizi - stabilire se le seguenti funzioni sono limitate o illimitate

 

I) f(x)=x+3\sqrt{x}

 

con \mbox{a) }x\in [0,+\infty),\ \ \ b)\ x\in [2,5].

 

II) f(x)=\ln{(x+2)}

 

con \mbox{a) }x\in (-2,+\infty),\ \ \ b)\ x\in (-1,\sqrt{122}).

 

III) f(x)=e^{x}+1

 

con \mbox{a) }x\in\mathbb{R},\ \ \ b)\ x\in (-\infty,0].

 

IV) f(x)=\frac{x+1}{x-1}

 

con \mbox{a) }x\in [-1,\frac{1}{2}],\ \ \ b)\ x\in [0,2].

 

V) f(x)=\tan(x)

 

con \mbox{a) }x\in \left[-\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{6}\right],\ \ \ b)\ x\in \left[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}\right].

 

VI) f(x)=x^5+3x^4-5x+3

 

con x\in\mathbb{R}.

 

VII) f(x)=2\sin(20x)+6

 

con x\in\mathbb{R}.

 

VIII) f(x)=\frac{1}{\sqrt{x+2}}

 

con x\in Dom(f).

 

 

Soluzioni:

 

I) a) limitata inferiormente, ma non superiormente, b) limitata;

 

II) a) illimitata sia superiormente che inferiormente, b) limitata sia inferiormente che superiormente; 

 

III) a) limitata inferiormente, ma non superiormente, b) limitata sia superiormente che inferiormente;

 

IV) a) limitata sia inferiormente che superiormente, b) illimitata sia inferiormente che superiormente;

 

V) a) limitata sia superiormente che inferiormente, b) illimitata sia superiormente che inferiormente;

 

VI) illimitata sia superiormente che inferiormente;

 

VII) limitata sia superiormente che inferiormente;

 

VIII) limitata inferiormente, ma illimitata superiormente.

 


 

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\alpha

 

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