Esercizi: estremo superiore e inferiore, massimi e minimi – Intermediate

Eccoci al livello intermedio degli esercizi sul calcolo di estremo inferiore, superiore, massimo e minimo di sottoinsiemi di \mathbb{R}. Per la parte teorica, se non l'avete già guardata, potete leggere l'articolo su sup e inf, max e min di insiemi.

 

Nel caso in cui gli esercizi dovessero essere troppo difficili c'è anche una scheda beginner.

 

Esercizi sul calcolo di estremo superiore, inferiore, max e min di insiemi

 

Negli esercizi seguenti indicheremo con \mathbb{N} i numeri naturali, cioè \mathbb{N}=\{0,1,2,3,\dots\} , e con \mathbb{Z} i numeri interi: \mathbb{Z}=-\mathbb{N}\cup\mathbb{N}=\{\dots,-3,-2,-1,0\}\cup\{0,1,2,3,\dots\}.

 

Una piccola nota: alcuni testi escludono lo 0 dai numeri naturali, qui abbiamo deciso di includerlo, verrà specificato quando i numeri naturali andranno considerati senza lo zero utilizzando la scrittura \mathbb{N}\setminus \{0\} .

 

Determina, se esistono, il sup e l'inf dei seguenti insiemi e specifica in quali casi sono anche massimi o minimi:

 

I) X=\left\{\frac{1}{n},\ n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\right\}

 

II) X=\left\{n^2,\ n\in\mathbb{N}\right\}

 

III) X=\left\{3-n^5,\ n\in\mathbb{N}\right\}

 

IV) X=\left\{\sin(\pi n),\ n\in\mathbb{N}\right\}

 

V) X= \left\{2+z,\ z\in\mathbb{Z}\right\}

 


 

Soluzioni

 

I) L'insieme X \ \mbox{ha} \ \inf=0, \ \sup=\max=1, non ammette minimo.

 

II) L'insieme X \ \mbox{ha} \ \inf=\min=0 \ \mbox{e} \ \sup(X)=+\infty, conseguentemente non ammette massimo.

 

III) \sup(X)=\max(X)=3, \ \mbox{e} \ \inf(X)=-\infty, non ammette minimo.

 

IV) \inf(X)=\min(X)=\sup(X)=\max(X)=0;

 

V) \inf(X)=-\infty\mbox{ e } sup(X)=+\infty.

 

 

Determina, se esistono, il massimo e il minimo dei seguenti insiemi, specifica in ogni caso i valori di inf e sup:

 

I) X=\left\{\frac{1}{2n+1},\ n\in\mathbb{N}\right\}

 

II) X=\left\{1+n^4,\ n\in\mathbb{N}\right\}

 

III) X=\left\{\frac{(-1)^n}{n},\ n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\right\}

 

[Suggerimento: separa la sottosuccessione con n pari: 1/2, 1/4, ... e quella con n dispari: -1, -1/3, -1/5, ...]

 

IV) X=\left\{\ln(n),\ n\in\mathbb{N}\setminus\{0\}\right\}

 

V) X=\left\{\frac{1}{2+z}, z\in\mathbb{Z}\setminus\{-2\}\right\}

 

[Suggerimento: separa le sottosuccessioni individuate dagli interi positivi: 1, 1/2, 1/3, ... e dagli interi negativi: -1, -1/2, -1/3, ...]

 


 

Soluzioni

 

I) \inf(X)=0, \  \sup(X)=\max(X)=1, non ammette minimo.

 

II) \inf(X)=\min(X)=1, \ \sup(X)=+\infty.

 

III) \inf(X)=\min(X)=-1, \ \sup(X)=\max(X)=\frac{1}{2}.

 

IV) \min(X)=0, \ \sup(X)=+\infty.

 

V) \min(X)=-1, \ \max(X)=1.

 


 

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\alpha

 

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