Esercizi estremo superiore e inferiore, massimi e minimi – Beginner

In questa scheda di esercizi beginner ti chiediamo di determinare l'estremo inferiore, superiore, i massimi e i minimi di alcuni insiemi reali.

 

Nell'articolo estremo inferiore e estremo superiore abbiamo parlato di sup e inf, max e min di insiemi in \mathbb{R}. Di seguito alcuni esercizi semplici di determinazione del sup e dell'inf per chi ha letto anche quella parte dell'articolo, e di determinazione di max e min, per chi invece si è interessato solo a queste ultime.

 

Esercizi su sup e inf

 

Determina esplicitamente il sup e l'inf dei seguenti insiemi e specifica in quali casi sono anche massimi o minimi.

 

I) X=(-\infty, 1)

 

II) X=[3,5]

 

III) X=(7,11]

 

IV) X=(1,3)\cup \{5\}

 

V) X= \{x\in\mathbb{R}: -1\leq x<1\}

 


 

Troppo facili? Passa agli esercizi su sup e inf di livello intermedio!

 


 

Soluzioni

 

I) L'insieme X ammette inf e sup con \inf(X)=-\infty \mbox{ e } \sup{X}=1 , non ha nè min nè max.

 

II) L'insieme X ammette inf e sup con \inf(X)=3 \mbox{ e } \sup{X}=5 , sono anche, rispettivamente minimo e massimo dell'insieme.

 

III) L'insieme X ammette inf e sup con \inf(X)=7 \mbox{ e } \sup{X}=11 , in particolare l'inf non è minimo, ma il sup coincide con il massimo essendo 11 compreso nell'insieme.

 

IV) L'insieme X ammette inf e sup con \inf(X)=1 \mbox{ e } \sup{X}=5 , non ha min, ma 5 è max.

 

V) Coincide con la scrittura [-1, 1) , quindi \inf(X)=min(X)=-1 \mbox{ e } \sup{X}=1 .

 

Esercizi su max e min

 

Determina, se esistono, il massimo e il minimo dei seguenti insiemi.

 

I) X=\{x\in\mathbb{R}: e^2< x\leq e^3\}

 

II) X=\{x\in\mathbb{R}: x<1\vee x\geq 2\}

 

III) X=[-5,3]\cup(5,6)

 

IV) X=\{x\in\mathbb{R}: x^2-5x+6\leq 0\}

 

V) X=\{1\}\cup\{2\}\cup\{3\}\cup\{4\}\cup\{5\}\cup\dots\cup\{n\} \cup\dots

 


 

Soluzioni

 

I) Non ha minimo, \max(X)=e^3.

 

II) Equivale a X=(-\infty,1)\cup[2,+\infty), dunque non ha nè min nè max.

 

III) \min(X)=-5, non ha max.

 

IV) L'insieme dato equivale all'intervallo [2,3], dunque \min(X)=2, \ \max(X)=3;

 

V) \min(X)=1, non ha max.

 


 

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\alpha

 

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Tags: esercizi su sup, inf, max, min di insiemi e determinare estremo inferiore e superiore, massimi e minimi di insiemi.