Esercizi: proprietà delle potenze - Advanced

Qui puoi trovare diversi esercizi un po' più complicati sulle proprietà delle potenze. Non farti ingannare dai risultati, talvolta non hanno una forma bellissima, ma potrebbero essere giusti! Dopo aver svolto gli esercizi, puoi confrontarli con le soluzioni che trovi in fondo, e ricorda che in caso di necessità puoi consultare la lezione sulle proprietà delle potenze.

 

Gli esercizi sono troppo difficili? Ne trovi di più semplici nella scheda beginner (trovi il link in fondo).

 

Esercizio: risolvi le seguenti espressioni utilizzando le proprietà delle potenze

 

Nota bene: i risultati possono anche essere prodotti di potenze di base differente. In modo che tu possa svolgerle senza essere condizionato ti proponiamo prima i risultati e successivamente, se ne dovessi avere bisogno, il nostro svolgimento. ;)

 

I) \sqrt{24\cdot 3}

 

II) \sqrt{\sqrt[3]{5}} \cdot (5^2)^{\frac{1}{2}}

 

III) \frac{2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{5}{6}} \cdot 2^{-\frac{9}{12}}}{3^5 \cdot 3^7 \cdot 3^{-10}} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}

 

IV) \frac{\sqrt\sqrt[3]{5} \cdot (5^2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{\sqrt{10\cdot 2}}{2}}

 

V) 2^{\frac{3}{8}} \cdot \sqrt[4]{\frac{2\cdot 3}{\sqrt{2}}:\sqrt{\frac{2}{3}}}

 

VI) \left( \sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{5^8}}{\sqrt{3^{12}}}} \right)^{\frac{1}{5}}

 



Soluzioni:

 

\mbox{I)} \ 6\sqrt{2}; \ \mbox{II)} \ 5^{\frac{7}{6}}; \ \mbox{III)} \ 2^{-\frac{1}{6}} \cdot 3^{-\frac{3}{2}}; \  \mbox{IV)} \  \sqrt[6]{5}}; \  \mbox{V)} \ 6^{\frac{3}{8}}; \ \mbox{VI)} \ \frac{5^{\frac{2}{15}}}{3^\frac{3}{10}}

 


 

Svolgimento:

 

I) Dopo aver scomposto nel prodotto di primi il numero 24:

 

24=2^3 \cdot 3

 

avremo:

 

\sqrt{24\cdot 3}=\sqrt{(2^3 \cdot 3) \cdot 3}=\sqrt{2^3 \cdot 3^2} =

 

(per come sono definite le potenze ad esponente frazionario)

 

=\left( 2^3 \cdot 3^2 \right)^{\frac{1}{2}} = \left(2^3\right)^{\frac{1}{2}} \cdot \left(3^2 \right)^{\frac{1}{2}}=2^{\frac{3}{2}} \cdot 3^{1} = \sqrt[2]{2^3} \cdot 3 = 3 \cdot 2 \sqrt{2} = {\color{red}6\sqrt{2}}

 

 

II) \sqrt{\sqrt[3]{5}} \cdot (5^2)^{\frac{1}{2}}

 

\sqrt{\sqrt[3]{5}}=\sqrt{5^{\frac{1}{3}}}=\left(5^{\frac{1}{3}}\right)^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{1}{3} \cdot \frac{1}{2}}=5^{\frac{1}{6}}

 

Che va moltiplicato per:

 

(5^2)^{\frac{1}{2}}=5^{2 \cdot \frac{1}{2}}=5

 

Quindi abbiamo:

 

\sqrt{\sqrt[3]{5}} \cdot (5^2)^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{1}{6}} \cdot 5 = 5^{\frac{1}{6}+1}={\color{red}5^{\frac{7}{6}}}

 

 

III) \frac{2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{5}{6}} \cdot 2^{-\frac{9}{12}}}{3^5 \cdot 3^7 \cdot 3^{-10}} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}

 

A numeratore abbiamo:

 

2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{5}{6}} \cdot 2^{-\frac{9}{12}}=2^{\frac{1}{4}+\frac{5}{6}-\frac{9}{12}}=2^{\frac{3+10-9}{12}}=2^{\frac{4}{12}}=2^{\frac{1}{3}}

 

A denominatore:

 

3^5 \cdot 3^7 \cdot 3^{-10}=3^{5+7-10}=3^{2}

 

Inoltre:

 

\sqrt{\frac{3}{2}}=\left(\frac{3}{2}\right)^{\frac{1}{2}}=\frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}

 

Pertanto:

 

\frac{2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{5}{6}} \cdot 2^{-\frac{9}{12}}}{3^5 \cdot 3^7 \cdot 3^{-10}} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{2^{\frac{1}{3}}}{3^2} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}

 

che possiamo scrivere come:

 

\frac{2^{\frac{1}{4}} \cdot 2^{\frac{5}{6}} \cdot 2^{-\frac{9}{12}}}{3^5 \cdot 3^7 \cdot 3^{-10}} \cdot \sqrt{\frac{3}{2}}=\frac{2^{\frac{1}{3}}}{3^2} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}=\frac{2^{\frac{1}{3}}}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}}}{3^2}=2^{\frac{1}{3}-\frac{1}{2}} \cdot 3^{\frac{1}{2}-2}={\color{red}2^{-\frac{1}{6}} \cdot 3^{-\frac{3}{2}}}

 

 

IV) \frac{\sqrt\sqrt[3]{5} \cdot (5^2)^{\frac{1}{2}}}{\frac{\sqrt{10\cdot 2}}{2}}

 

Eseguiamo separatamente i conti a numeratore e a denominatore:

 

\sqrt{\sqrt[3]{5} \cdot (5^2)^{\frac{1}{2}}}=\sqrt{5^{\frac{1}{3}} \cdot 5^{2 \cdot \frac{1}{2}}}=\sqrt{5^{\frac{1}{3}} \cdot 5} = \sqrt{5^{\frac{1}{3}+1}} =

 

=\sqrt{5^{\frac{4}{3}}}=\left(5^{\frac{4}{3}} \right)^{\frac{1}{2}}=5^{\frac{4}{3} \cdot \frac{1}{2}}=5^{\frac{2}{3}}

 

A denominatore, essendo 10=2 \cdot 5 avremo:

 

\frac{\sqrt{10\cdot 2}}{2}=\frac{\sqrt{5 \cdot 2 \cdot 2}}{2}=\frac{\sqrt{2^2 \cdot 5}}{2}=\frac{\left(2^2 \cdot 5 \right)^{\frac{1}{2}}}{2}=\frac{2 \cdot 5^{\frac{1}{2}}}{2}=5^{\frac{1}{2}}

 

In definitiva:

 

\frac{\sqrt{\sqrt[3]{5} \cdot (5^2)^{\frac{1}{2}}}}{\frac{\sqrt{10\cdot 2}}{2}}=\frac{5^{\frac{2}{3}}}{5^{\frac{1}{2}}}=5^{\frac{2}{3}-\frac{1}{2}}=5^{\frac{4-3}{6}}=5^{\frac{1}{6}}={\color{red}\sqrt[6]{5}}

 

 

V) 2^{\frac{3}{8}} \cdot \sqrt[4]{\frac{2\cdot 3}{\sqrt{2}}:\sqrt{\frac{2}{3}}}

 

Iniziamo col fare i conti all'interno della radice quarta:

 

\sqrt[4]{\frac{2\cdot 3}{\sqrt{2}}:\sqrt{\frac{2}{3}}}=\sqrt[4]{\frac{2\cdot 3}{2^{\frac{1}{2}}}: \frac{2^{\frac{1}{2}}}{3^{\frac{1}{2}}}}=\sqrt[4]{\frac{2\cdot 3}{2^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{3^{\frac{1}{2}}}{2^{\frac{1}{2}}}}=

 

=\sqrt[4]{\frac{2}{2^{\frac{1}{2}} \cdot 2^{\frac{1}{2}}} \cdot \left(3 \cdot 3^{\frac{1}{2}}\right)}=\sqrt[4]{3^{\frac{3}{2}}}=\left[\left(3\right)^{\frac{3}{2}}\right]^{\frac{1}{4}}=3^{\frac{3}{8}}

 

Morale della favola:

 

2^{\frac{3}{8}} \cdot \sqrt[4]{\frac{2\cdot 3}{\sqrt{2}}:\sqrt{\frac{2}{3}}}= 2^{\frac{3}{8}} \cdot 3^{\frac{3}{8}}=(2 \cdot 3)^{\frac{3}{8}}={\color{red}6^{\frac{3}{8}}}

 

 

VI) \left( \sqrt[4]{\frac{\sqrt[3]{5^8}}{\sqrt{3^{12}}}} \right)^{\frac{1}{5}}= \left( \sqrt[4]{\frac{5^{\frac{8}{3}}}{3^{\frac{12}{2}}}} \right)^{\frac{1}{5}}=\left( \sqrt[4]{\frac{5^{\frac{8}{3}}}{3^{6}}} \right)^{\frac{1}{5}}=

 

=\left[ \left(\frac{5^{\frac{8}{3}}}{3^{6}} \right)^{\frac{1}{4}} \right]^{\frac{1}{5}} =\left(\frac{5^{\frac{8}{3}}}{3^{6}} \right)^{\frac{1}{20}}=\frac{5^{\frac{8}{3} \cdot \frac{1}{20}}}{3^{6 \cdot \frac{1}{20}}}={\color{red}\frac{5^{\frac{2}{15}}}{3^{\frac{3}{10}}}}

 

Esercizio sulle proprietà delle potenze: rispondi alle seguenti domande

 

I) Quando la potenza di un prodotto di due numeri relativi è positiva?

 

II) Quando la potenza di un quoziente di due numeri relativi è negativa?

 

III) Per quali valori di n appartenente all'insieme dei numeri naturali: \left[(-5)^3\right]^n è minore di zero?

 

IV) Si può trovare un valore di n \in \mathbb{N} per cui \left\{ \left[ \left( -\frac{1}{7}\right)^5\right]^n \right\}^2 è maggiore di zero?

 

V) Esiste un valore di n \in \mathbb{Z} per cui n^3 \cdot n^4 - n = 0 ?

 

VI) È vero che per ogni n, \ m \in \mathbb{N}: \ (a^n \cdot a^m) \geq a^n ? Perché?

 


  

Soluzioni:

 

I) La potenza di un prodotto di due numeri relativi la possiamo indicare con:

 

(a \cdot b)^n, \ \mbox{con} \ a,b \in \mathbb{Z}

 

che per la proprietà delle potenze possiamo scrivere come:

 

(a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n

 

Tale potenza è positiva se: a e b sono concordi oppure se a e b sono discordi ed n è pari. 

 

II) La potenza di un quoziente di due numeri relativi è data da:

 

\left(\frac{a}{b}\right)^n=\frac{a^n}{b^n}, \ \mbox{con} \ a,b \in \mathbb{Z}, \ b \neq 0

 

Tale potenza è negativa se a e b sono discordi ed n è dispari.

 

III) \left[(-5)^3\right]^n = (-5)^{3n}

 

che è minore di zero se 3n è dispari, ovvero se n è dispari.

 

IV) \left\{ \left[ \left( -\frac{1}{7}\right)^5\right]^n \right\}^2 = \left(-\frac{1}{7}\right)^{10n}

 

che è maggiore di zero per ogni numero naturale n, in quanto l'esponente 10n, indipendentemente dal valore di n è pari e quindi la potenza sarà sempre positiva.

 

V) Esistono ben 3 valori di n per cui n^3 \cdot n^4 - n =0. Infatti:

 

n^3 \cdot n^4 - n = 0 \iff n^7 - n = 0.

 

Raccogliendo a fattor comune n abbiamo:

 

 n(n^6 - 1) = 0

 

Per la legge di annullamento del prodotto:

 

n=0 \ \vee \ n= \pm 1

 

VI) Non è vero che per ogni n, \ m \in \mathbb{N}: \ (a^n \cdot a^m) \geq a^n

 

Per convincersene, prendiamo, ad esempio: n=1, m=2, a=-3. Abbiamo allora:

 

{\color{red}a^n \cdot a^m} = (-3)^1 \cdot (-3)^2 = (-3)^{1+2} = (-3)^3 {\color{red}=-27}

 

che è indubbiamente minore di a^n = (-3)^1 = -3

 


 

 

Se hai bisogno di aiuto puoi fare qualche ricerca qui su YM: abbiamo risolto e spiegato tantissimi esericizi, potresti trovare sin da subito le risposte a tutti i tuoi dubbi.

 

PS: se vuoi usare questi esercizi perché dai ripetizioni, vuoi pubblicarli sul tuo blog o se vuoi stamparli e usarli per accendere il caminetto, ti saremmo grati se tu citassi YouMath.it ! Wink

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione correlata..........Passa agli esercizi beginner


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