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Esercizi: proprietà dei logaritmi (Scheda 1)

Dopo aver capito cosa sono i logaritmi e come funzionano, è cosa buona e giusta provare a risolvere un po' di esercizi sulle proprietà dei logaritmi e ad applicare le proprietà che li caratterizzano. In questo articolo trovi degli esercizi mirati sull'applicazione delle proprietà dei logaritmi.

 

Se quelli qui presenti non bastano c'è anche una Scheda 2 di esercizi (link in basso).

 

Come al solito trovi spiegazioni, trucchi, e soluzioni Wink

 

Risolvi i seguenti esercizi sulle proprietà dei logaritmi

 

Calcola i valori dei seguenti logaritmi usando le proprietà dei logaritmi relative a prodotto, rapporto e regola dell'esponente.

 

I) \log_{2}{\left(16\sqrt{2}\right)}

 

II) \log_{\frac{1}{3}}{\left(\sqrt[3]{3\sqrt{27}}\right)}

 

III) \log_{\frac{1}{10}}{\left(\frac{\sqrt{10}}{100^2}\right)}

 

IV) \log_{2}{\left( \frac{4\sqrt{8}}{\sqrt[3]{2}}\right)}

 

V) \log_{\frac{1}{2}}{\left(\frac{2\sqrt{2}}{\sqrt[3]{4}}\right)}

 

VI) \log_{3}{\left(\frac{\sqrt{3}\sqrt[3]{3}}{9}\right)^5}

 

VII) \log_{6}(9)+\log_{6}(48)+\log_6(3)

 

VIII) \log_{2}(9)-\log_2(3)-\log_2(6)

 


 

Come prima, solo che qui non è indicata la base dei logaritmi. Immagina però che in ogni esercizio tutti i logaritmi abbiano la stessa generica base (il procedimento non dipende da essa!)

 

IX) 2\log{(5)}+3\log{(2)}-\log(20)

 

X) 2\log{(5)}-3\log{(25)}+\frac{1}{2}\log{(625)}

 

XI) 3\log{(x)}+5\log{(y)}-\log(z). Come devono essere x,y e z affinché il tutto abbia significato?

 

XII) \frac{1}{2}\log{(x^2+x+4)}-\frac{1}{2}\log{(2x^2+x+4)}. Tale espressione ha significato per ogni x. Come mai?

 


 

Svolgimento e soluzioni:

 

I) Dopo aver scomposto in fattori primi il numero 16 e ricordato come sono definite le potenze con esponente fratto abbiamo:


16\sqrt{2}=2^4 \cdot 2^{\frac{1}{2}}=


(per le proprietà delle potenze)


=2^{4+\frac{1}{2}}=2^{\frac{9}{2}}.


Pertanto:


\log_{2}{\left(16\sqrt{2}\right)}=\log_2{\left(2^{\frac{9}{2}}\right)}=\frac{9}{2}\log_2(2)=\frac{9}{2} \cdot 1 = {\color{red}\frac{9}{2}}

 

II) Porta sotto il segno di radice il fattore 3, calcola la radice di radice e dopo qualche conticino ti rincodurrai a:

 

\log_{\frac{1}{3}}{\left(\sqrt[3]{3\sqrt{27}}\right)}=\log_{\frac{1}{3}}\left(3^{\frac{5}{6}}\right)

 

che per una delle proprietà dei logaritmi possiamo scrivere come:

 

\frac{5}{6}\log_{\frac{1}{3}}(3) = {\color{red}-\frac{5}{6}}

 

in quanto \log_{\frac{1}{3}}(3)=-1

 

Ormai dovreste aver capito come procedere. Il tutto ruota semplicemente attorno alle proprietà dei radicali ed occorre saper maneggiare a dovere le potenze. Se vuoi fare un ripassino veloce ti basta un click sui due link precedenti. 

 

Per i prossimi 4 esercizi ci limitiamo quindi a fornirvi solo le soluzioni.

 

III) {\color{red}\frac{7}{2}}

 

IV) {\color{red}\frac{19}{6}}

 

V) {\color{red}-\frac{5}{6}}

 

VI) {\color{red}-\frac{35}{6}}

 

VII) Facciamo entrare in gioco la proprietà per cui la somma di più logaritmi con la stessa base è un logaritmo che ha per base la stessa base e per argomento il prodotto degli argomenti. Quindi:

 

\log_{6}(9)+\log_{6}(48)+\log_6(3)=\log_6(9 \cdot 48 \cdot 3)=\log_6(1296)

 

A questo punto, essendo 1296=6^4 abbiamo:

 

\log_{6}(9)+\log_{6}(48)+\log_6(3)=\log_6(9 \cdot 48 \cdot 3)=\log_6(1296)=\log_6\left(6^4\right)={\color{red}4}

 

 

VIII) Sapendo che la differenza tra logartimi aventi la stessa base è un logaritmo che ha per base la stessa base e per argomento il rapporto tra gli argomenti possiamo scrivere:

 

\log_{2}(9)-\log_2(3)-\log_2(6)=\log_2\left(\frac{9}{3}\right)-\log_2(6)=\log_2(3)-\log_2(6)=

 

=\log_2\left(\frac{3}{6}\right)=\log_{2}\left(\frac{1}{2}\right)={\color{red}-1}

 

Procedendo allo stesso modo abbiamo:

 

IX) {\color{red}\log(10)}

 

X) {\color{red}\log\left(\frac{1}{25}\right)}

 

XI) Il logaritmo è definito a patto che l'argomento sia strettamente positivo. Pertanto x, y e z devono essere strettamente maggiori di zero. Chiarito questo:

 

3\log{(x)}+5\log{(y)}-\log(z)={\color{red}\log \left(\frac{x^3 \cdot y^5}{z}\right)}

 

XII) Dobbiamo innanzitutto vedere per quali valori di x i due argomenti dei logaritmi sono strettamente maggiori di zero. Poiché

 

x^2+x+4 \textgreater 0 \ \mbox{e} \ 2x^2+x+4 \textgreater 0

 

sono due disequazioni di secondo grado le cui equazioni associate hanno discriminante minore di zero.

 

Come puoi vedere nella tabella presente nella lezione prima linkata, le due disequazioni sono verificate per ogni x (numero reale).

 

Alla luce di ciò, applicando opportunamente le proprietà dei logaritmi:

 

\frac{1}{2}\log{(x^2+x+4)}-\frac{1}{2}\log{(2x^2+x+4)}={\color{red}\log \left(\sqrt{\frac{x^2+x+4}{2x^2+x+4}}\right)}

 


 

 

Se hai bisogno di aiuto basta chiedere: apri una discussione nel Forum, e cerca le risposte ai tuoi dubbi con la barra di ricerca su YM. Abbiamo risolto migliaia di esercizi... Inoltre nella scheda 2 (link in basso) ne trovi altri sempre della stessa tipologia ma leggermente più difficili.

 

PS: se vuoi usare questi esercizi perchè dai ripetizioni, vuoi pubblicarli sul tuo blog o se vuoi stamparli e usarli per accendere il caminetto, ti saremmo grati se tu citassi YouMath.it! Wink

 

Buon lavoro!

Agente Ω

 

Lezione correlata ..........Passa alla scheda 2

 

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Tags: esercizi sui logaritmi e sulle proprietà dei logaritmi - come si usano le proprietà dei logaritmi.

 

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