Esercizi: proprietà delle potenze - Beginner

Benvenuto! :) In questa scheda proponiamo alcuni semplici esercizi sulle proprietà delle potenze. Gli esercizi proposti servono per assimilare le proprietà delle potenze, per ricordarle velocemente e per abituarsi ad usarle quando servono. Cliccando sul link puoi passare direttamente all'articolo che presenta e spiega tutte le proprietà da sapere per svolgere gli esercizi.

 

Gli esercizi che ti proponiamo sono troppo semplici? Nessun problema: c'è anche una scheda di esercizi sulle proprietà delle potenze advanced (trovi il link in fondo)!

 

Esercizi sulle proprietà delle potenze: calcola le seguenti espressioni sfruttando le proprietà delle potenze

 

Nota Bene: provaci da solo! Alla fine dell'elenco trovi le soluzioni. Se qualche risultato non dovesse coincidere confronta poi il tuo procedimento con quello da noi proposto Wink

 

I) 2^5 \cdot 2^3

 

II) 3^7 \cdot 3^5

 

III) 5^2 \cdot \frac{1}{5}

 

IV) 2^7 \cdot 2^{-5} \cdot 2^{\frac{1}{2}}

 

V) \frac{2^2 \cdot 3^2}{2^3 \cdot 3^3} \cdot 2^0

 

VI) \frac{7^9 \cdot 7^{\frac{2}{3}} \cdot 7^{-\frac{1}{3}}}{7^{\frac{1}{4}}}

 

VII) \frac{3^2}{\left(3^3\right)^2} \cdot \frac{\left(3^2\right)^3}{3^5} \cdot 3^3

 

VIII) 9^0 \cdot 3^0 \cdot 121^0+2^0

 

IX) 6^3 \cdot 2^5 \cdot 3^2 \cdot \frac{1}{27} \cdot \frac{1}{1024}

 

X) \frac{\left(\frac{25}{5^3} \right)}{5^{-2}} \cdot \frac{10^2}{4} \cdot \frac{4^{\frac{1}{2}}}{16^{\frac{1}{2}}}

 



Soluzioni:

 

\mbox{I)} \ 2^8; \  \mbox{II)} \ 3^{12}; \ \mbox{III)} \ 5; \ \mbox{IV)} \ 2^{\frac{5}{2}}; \  \mbox{V)} \ \frac{1}{6}; \ \mbox{VI)} \ 7^{\frac{109}{12}}; \  \mbox{VII)} \ 1; \  \mbox{VIII)} \ 2; \  \mbox{IX)} \ \frac{9}{4}; \  \mbox{X)} \ \frac{5^3}{2}

 


 

Svolgimento:

 

Ricordando che il prodotto di più potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti e che

 

il rapporto tra potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la differenza degli esponenti, abbiamo:

 

I) 2^5 \cdot 2^3 = 2^{5+3}={\color{red}2^8}

 

II) 3^7 \cdot 3^5 = 3^{7+5}={\color{red}3^{12}}

 

III) 5^2 \cdot \frac{1}{5} = \frac{5^2}{5} = 5^{2-1}={\color{red}5}

 

IV) 2^7 \cdot 2^{-5} \cdot 2^{\frac{1}{2}} = 2^{7+(-5)+\frac{1}{2}}=2^{\frac{14-10+1}{2}}={\color{red}2^{\frac{5}{2}}}

 

V) \frac{2^2 \cdot 3^2}{2^3 \cdot 3^3} \cdot 2^0 = \frac{2^2}{2^3} \cdot \frac{3^2}{3^3} \cdot 2^0 = 2^{2-3} \cdot 3^{2-3} \cdot 2^0 = 2^{-1} \cdot 3^{-1} \cdot 1 = (2 \cdot 3)^{-1}=6^{-1}={\color{red}\frac{1}{6}}

 

VI) \frac{7^9 \cdot 7^{\frac{2}{3}} \cdot 7^{-\frac{1}{3}}}{7^{\frac{1}{4}}} = \frac{7^{9+\frac{2}{3}-\frac{1}{3}}}{7^{\frac{1}{4}}}=\frac{7^{\frac{27+2-1}{3}}}{7^{\frac{1}{4}}}=\frac{7^{\frac{28}{3}}}{7^{\frac{1}{4}}}=7^{\frac{28}{3}-\frac{1}{4}}=7^{\frac{112-3}{12}}={\color{red}7^{\frac{109}{12}}}

 

Ricordando com'è definita la potenza di potenza:

 

VII) \frac{3^2}{\left(3^3\right)^2} \cdot \frac{\left(3^2\right)^3}{3^5} \cdot 3^3 = \frac{3^2}{3^6} \cdot \frac{3^6}{3^5} \cdot 3^3 = 3^{2-6} \cdot 3^{6-5} \cdot 3^3 = 3^{-4} \cdot 3^{1} \cdot 3^3 = 3^{-4+1+3}=3^0={\color{red}1}

 

Tenendo presente l'ordine con cui si eseguono le operazioni e ricordando che un numero elevato alla zero è uguale a 1 (purché la base sia diversa da zero) si ha:

 

VIII) 9^0 \cdot 3^0 \cdot 121^0+2^0 = (1 \cdot 1 \cdot 1)+1 = 1+1 = {\color{red}2}

 

IX) 6^3 \cdot 2^5 \cdot 3^2 \cdot \frac{1}{27} \cdot \frac{1}{1024}

 

Dopo aver scomposto nel prodotto in fattori primi i seguenti numeri:

 

6=2 \cdot 3, \ 27=3^3, \  1024=2^{10} abbiamo:

 

6^3 \cdot 2^5 \cdot 3^2 \cdot \frac{1}{27} \cdot \frac{1}{1024}= (2 \cdot 3)^3 \cdot 2^5 \cdot 3^2 \cdot \frac{1}{3^3}\cdot \frac{1}{2^{10}} = 2^3 \cdot 3^3 \cdot 2^5 \cdot 3^2 \cdot \frac{1}{3^3} \cdot \frac{1}{2^{10}}=

 

(sfruttando la proprietà commutativa della moltiplicazione)

 

=\left(2^3 \cdot 2^5 \cdot \frac{1}{2^{10}} \right) \cdot \left( 3^3 \cdot 3^2 \cdot \frac{1}{3^3}\right)=\left( 2^3 \cdot 2^5 \cdot 2^{-10}\right) \cdot \left( 3^3 \cdot 3^2 \cdot 3^{-3}\right)=

 

=2^{3+5-10} \cdot 3^{3+2-3}=2^{-2} \cdot 3^2 = \frac{1}{2^2} \cdot 3^2 = \frac{3^2}{2^2}={\color{red}\frac{9}{4}}

 

X) \frac{\left(\frac{25}{5^3} \right)}{5^{-2}} \cdot \frac{10^2}{4} \cdot \frac{4^{\frac{1}{2}}}{16^{\frac{1}{2}}}

 

Essendo:

 

25=5^2, \ 10=2 \cdot 5 \to 10^2 = (2 \cdot 5)^2 = 2^2 \cdot 5^2, \ \mbox{e} \ 16=4^2

 

abbiamo:

 

\frac{\left(\frac{25}{5^3} \right)}{5^{-2}} \cdot \frac{10^2}{4} \cdot \frac{4^{\frac{1}{2}}}{16^{\frac{1}{2}}} = \frac{\left(\frac{5^2}{5^3} \right)}{5^{-2}} \cdot \frac{2^2 \cdot 5^2}{2^2} \cdot \frac{4^{\frac{1}{2}}}{(4^2)^{\frac{1}{2}}}

 

Ora:

 

\frac{\left(\frac{5^2}{5^3} \right)}{5^{-2}}=\frac{5^{2-3}}{5^{-2}}=\frac{5^{-1}}{5^{-2}}=5^{-1-(-2)}=5^{-1+2}=5^1=5

 

\frac{2^2 \cdot 5^2}{2^2}=2^{2-2} \cdot 5^2 = 2^0 \cdot 5^2 = 5^2

 

\frac{4^{\frac{1}{2}}}{(4^2)^{\frac{1}{2}}}=\frac{4^{\frac{1}{2}}}{4^1}=4^{\frac{1}{2}-1}=4^{-\frac{1}{2}}=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}

 

(in caso di dubbi dai un'occhiata alle potenze con esponente negativo - click!)

 

Alla fine abbiamo:

 

\frac{\left(\frac{25}{5^3} \right)}{5^{-2}} \cdot \frac{10^2}{4} \cdot \frac{4^{\frac{1}{2}}}{16^{\frac{1}{2}}} = \frac{\left(\frac{5^2}{5^3} \right)}{5^{-2}} \cdot \frac{2^2 \cdot 5^2}{2^2} \cdot \frac{4^{\frac{1}{2}}}{(4^2)^{\frac{1}{2}}}=5 \cdot 5^2 \cdot \frac{1}{2}={\color{red}\frac{5^3}{2}}

 

Esercizi sulle proprietà delle potenze del tipo: trova l'espressione da inserire al posto dei puntini

 

I) (-2)^2 \cdot (-3)^{...} = 36

 

II) \left(-\frac{1}{2}\right)^{...} : \left(-\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{4}

 

III) \left\{ \left[ \left( -5 \right)^2 \right]^{...} \right\}^{2} = (-5)^{12}

 

IV) 3^{...} \cdot 4^{...} = 144

 

V) 16^{...} \cdot 7^{...} = 4

 


 

Soluzioni:

 

I) (-2)^2 \cdot (-3)^{\color{red}2} = 36

 

II) \left(-\frac{1}{2}\right)^{\color{red}7} : \left(-\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{4}

 

III) \left\{ \left[ \left( -5 \right)^2 \right]^{\color{red}3} \right\}^{2} = (-5)^{12}

 

IV) 3^{\color{red}2} \cdot 2^{\color{red}4} = 144

 

V) 16^{\color{red}\frac{1}{2}} \cdot 7^{\color{red}0} = 4

 

Esercizi sulle proprietà delle potenze del tipo: Vero o Falso?

 

I) La somma di più potenze con la stessa base è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti.

 

II) La potenza di un prodotto è uguale al prodotto delle potenze.

 

III) La potenza di una differenza è uguale alla differenza delle potenze.

 

IV) La potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente la somma degli esponenti. 

 

V) \left\{ \left[ \left( \frac{3}{2}+\frac{1}{2}-2 \right)^3 \right]^0 \right\}^2 = 1

 

VI) 25^{\frac{3}{2}}:25=5 

 


 

Soluzioni:

 

I) Falso: come ricordato all'inizio è il prodotto di più potenze con la stessa base a soddisfare quella proprietà e non la somma.

 

II) Vero: è proprio una delle proprietà delle potenze: (a \cdot b)^n = a^n \cdot b^n

 

III) Falso: se fosse vero si avrebbe, ad esempio (3-2)^3 = 3^3 - 2^3 che è, ovviamente, un'uguaglianza falsa.

 

IV) Falso: la potenza di una potenza è una potenza che ha per base la stessa base e per esponente il prodotto degli esponenti.

 

V) Falso. Infatti:

 

\left\{ \left[ \left( \frac{3}{2}+\frac{1}{2}-2 \right)^3 \right]^0 \right\}^2 = \left(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}-2 \right)^{3 \cdot 0 \cdot 2} = \left(\frac{3}{2}+\frac{1}{2}-2\right)^0

 

che non ha significato in quanto:

 

\frac{3}{2}+\frac{1}{2}-2=0

 

quindi siamo di fronte a zero alla zero - click!

 

VI) Vero:

 

25^{\frac{3}{2}}:25=25^{\frac{3}{2}-1}=25^{\frac{1}{2}}=\sqrt{25}=5

 

Vedi: potenze con esponente frazionario ;)

 


 

Se hai bisogno di aiuto, di uno svolgimento o di un chiarimento, se vuoi vedere altri esercizi, ricorda che puoi sempre cercare qui su YM: abbiamo risolto decine di migliaia di problemi! Laughing

 

PS: se vuoi usare questi esercizi perchè dai ripetizioni, vuoi pubblicarli sul tuo blog o se vuoi stamparli e usarli per accendere il caminetto, ti saremmo grati se tu citassi YouMath.it ! Wink

 

Non perderti la prossima scheda di esercizi dove abbiamo alzato il livello di difficoltà!

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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