Esercizi sulle potenze

Sei pronto per risolvere un po' di semplici esercizi sulle potenze? Ti proponiamo varie tipologie di esercizi, utili per fare pratica con la definizione e con quel poco di teoria che c'è dietro il mondo delle potenze.

 

Nel primo esercizio, nel gruppo (1-3) dovrai semplicemente riscrivere le moltiplicazioni sotto forma di potenza, mentre nel gruppo (4-10) dovrai prima scomporre il numero nel prodotto di numeri primi e poi scrivere la moltiplicazione come un'opportuna potenza.

 

Fatto questo ti proporremo qualche esercizio sul calcolo delle potenze, ti faremo qualche domandina teorica e ti proporremo un Vero o Falso per testare quello che hai imparato!

 

Tutti gli esercizi saranno accompagnati da suggerimenti e soluzioni, mentre puoi consultare la spiegazione riguardante le potenze nell'articolo del link. Se invece cerchi la lezione sulle proprietà delle potenze...click!

 

Esercizi sulle potenze del tipo: scrivere dei numeri sotto forma di potenze

 

I) 2\cdot 2

 

II) 2\cdot 2\cdot 2\cdot 2

 

III) 3\cdot 3 \ \mbox{(5 volte)}

 

IV) 4

 

V) 32

 

VI) 512

 

VII) 27

 

VIII) 121

 

IX) 1024

 

X) 81

 



Soluzioni:  \mbox{I)} \ 2^2; \ \mbox{II)} \ 2^4;

 

\mbox{III)} \ 9^5 \ \mbox{infatti} \ 3 \cdot 3 \ \mbox{(5 volte)}

 

equivale ad eseguire il prodotto 3·3=9 per 5 volte, ovvero 9·9·9·9·9=95;

 

\mbox{IV)} \ 2^2; \ \mbox{V)} \ 2^5; \ \mbox{VI)} \  2^9; \ \mbox{VII)} \ 3^3; \ \mbox{VIII)} \  11^2; \  \mbox{IX)} \ 2^{10}; \ \mbox{X)} \ 9^2=3^4

 

Esercizi sul calcolo delle potenze

 

I) 2^3

 

II) 3^4

 

III) (-5)^{2}

 

IV) (-3)^3

 

V) \left(\frac{1}{8}\right)^{-2}

 

VI) \left(-\frac{3}{2}\right)^{-3}

 

VII) -\left(\frac{2}{3}\right)^{4}

 

VIII) 0^{-2}

 

IX) (-2)^0

 

X) \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{8}-\frac{5}{8}\right)^0

 

XI) 81^{\frac{1}{2}}

 

XII) (-8)^{-\frac{1}{3}} 

 


 

Soluzioni:

 

\mbox{I)} \ 2^3 = 2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 ;

 

 \mbox{II)} \ 3^4 = 3 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 81;

 

\mbox{III)} \ (-5)^2 = (-5) \cdot (-5) = 25;

 

\mbox{IV)} \ (-3)^3 = (-3) \cdot (-3) \cdot (-3) = -27;

 

(potresti dare un'occhiata a potenze con base negativa - click!)

 

\mbox{V)} \ \left(\frac{1}{8}\right)^{-2} = 8^2 = 64

 

\mbox{VI)} \ \left(-\frac{3}{2}\right)^{-3} = \left(-\frac{2}{3}\right)^3 = -\frac{8}{27}

 

(Per capire nel dettaglio come comportarti vedi: potenze con esponente negativo - click!)

 

\mbox{VII)} \ -\left(\frac{2}{3}\right)^{4} = -\left(\frac{16}{81}\right) = -\frac{16}{81}

 

(attenzione che il segno meno non è incluso nell'elevamento a potenza ;)

 

\mbox{VIII)} \ 0^{-2} è una scrittura priva di significato, infatti, avendo una potenza con esponente negativo, come visto poca fa, dovremmo scrivere:

 

0^{-2}={\color{red}\left(\frac{1}{0}\right)^2}

 

ma quest'ultima scrittura non ha significato in quanto abbiamo uno zero a denominatore.

 

\mbox{IX} \ (-2)^0 = 1 infatti qualsiasi numero elevato alla zero dà 1, purché, ovviamente, come nel nostro caso, la base sia diversa da zero.

 

\mbox{X} \ \left(\frac{1}{2}+\frac{1}{8}-\frac{5}{8}\right)^0 non ha significato, infatti:

 

\frac{1}{2}+\frac{1}{8}-\frac{5}{8}=\frac{4+1-5}{8}=\frac{0}{8}=0

 

e zero alla zero è un'espressione matematica che non ha significato.

 

Ricordando come sono definite le potenze con esponente frazionario abbiamo:

 

\mbox{XI)} \ 81^{\frac{1}{2}}=\sqrt[2]{81}=9

 

\mbox{XII)} \ (-8)^{-\frac{1}{3}}=\left(-\frac{1}{8}\right)^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{-\frac{1}{8}}=-\frac{1}{2}

 

Esercizi sulle potenze del tipo traduci e calcola

 

Esprimere mediante un'espressione algebrica le seguenti operazioni e calcolarne il valore:

 

I) sottrarre il quadrato della differenza tra 2 e 3 dal cubo del reciproco di -3;

 

II) moltiplicare la somma del quadrato -3 con il cubo di -2 per la differenza tra il quadrato di 7 ed il prodotto di -5 con -8

 

III) moltiplicare il reciproco del quadrato della somma di 10 con il cubo di -3 per la somma del quadrato di -7 con il prodotto di 15 per la quarta potenza di -2  

 


 

Soluzioni:

 

I) Il reciproco di -3 è -\frac{1}{3} il cui cubo è \left(-\frac{1}{3}\right)^3.

 

Da esso dobbiamo sottrarre il quadrato della differenza tra 2 e 3, ovvero (2-3)^2.

 

Abbiamo quindi:

 

\left(-\frac{1}{3}\right)^3 - (2-3)^2=-\frac{1}{27}-1=-\frac{28}{27}

 

II) la somma del quadrato di -3 con il cubo di -2 è data da: (-3)^2+(-2)^3;

 

ad esso va moltiplicata:

 

la differenza tra il quadrato di 7 ed il prodotto di -5 con -8 ovvero:

 

(-7)^2 - [(-5) \cdot (-8)]

 

In definitiva la nostra espressione si traduce in:

 

[(-3)^2+(-2)^3] \cdot \{(-7)^2 - [(-5) \cdot (-8)]\} = [9-8] \cdot [49-40]= 1 \cdot 9 = 9

 

III)  il quadrato della somma di 10 con il cubo di -3 è:

 

\left[10+(-3)^3\right]^2=[10-27]^2=(-17)^2=289

 

il cui reciproco è \frac{1}{289}

 

esso va moltiplicato per:

 

la somma del quadrato di -7 con il prodotto di 15 per la quarta potenza di -2, ovvero:

 

(-7)^2+[15 \cdot (-2)^4]= 49+(15 \cdot 16)=49+240=289

 

Alla fine avremo quindi:

 

\frac{1}{289} \cdot 289 = 1

 

Esercizi sulle potenze del tipo: vero o falso?

 

I) La potenza di un numero con esponente pari è sempre positiva.

 

II) La potenza di un numero con esponente dispari è sempre negativa.

 

III) La potenza di un numero con esponente frazionario è sempre definita.

 

IV) \left(-3 \right)^{-1} = 3^{1}=3

 

V) \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=4

 


  

Soluzioni:

 

I) Vero.

 

II) Falso. Ad esempio: (3)^3=27. L'affermazione è vera se come base abbiamo un numero negativo.

 

III) Falso. Ad esempio (-2)^{\frac{1}{2}} non è definita in quanto (-2)^{\frac{1}{2}}=\sqrt{-2} che non esiste.

 

IV) Falso. (-3)^{-1}=\left(-\frac{1}{3}\right)^1=-\frac{1}{3}

 

V) Vero. Infatti \left(\frac{1}{2}\right)^{-2}=\left(\frac{2}{1}\right)^2 = 2^2 =4

 


 

 

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PS: se vuoi usare questi esercizi perché dai ripetizioni, vuoi pubblicarli sul tuo blog o se vuoi stamparli e usarli per accendere il caminetto, ti saremmo grati se tu citassi YouMath.it! ;)

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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