Esercizi sui logaritmi (scheda 1)

Hai appena studiato i logaritmi e devi fare un po' di pratica? Stai leggendo la prima scheda di esercizi sui logaritmi, prova a risolverli per prendere un po' di confidenza con la definizione di logaritmo.

 

Se ancora non l'avessi fatto ti suggeriamo di leggere la spiegazione sui logaritmi; se i seguenti esercizi non bastassero, c'è anche una seconda scheda...Dopo averli svolti puoi anche provare a cimentarti con gli esercizi sulle proprietà dei logaritmi, e anche li ci sono due schede. In fondo trovi le soluzioni Laughing

 

Esercizi: calcola il valore di un logaritmo con la definizione


Non devi fare altro che esprimere i seguenti logaritmi come numeri, interi, relativi o reali:


1.I) Log(10); \ \ \log_{2}{(8)}

 

1.II) \ln{\left(e^{\frac{3}{2}}\right)}; \ \ \log_{2}{\left(\frac{1}{4}\right)}

 

1.III) \log_{\frac{1}{4}}{\left(\frac{1}{64}\right)}; \ \ \log_{\frac{2}{3}}{\left(\frac{9}{4}\right)}

 

1.IV) \log_{\frac{5}{4}}{\left(\frac{64}{125}\right)}; \ \ \log_{3}{\left(\frac{1}{9}\right)^{-\frac{2}{3}}}

 

1.V) \log_{\frac{3}{4}}{\left(\frac{9}{16}\right)^{\frac{3}{2}}}; \ \ \log_{\sqrt{2}}{(2)^{\frac{3}{4}}}

 


 

Svolgimento e soluzioni (in rosso):

 

Come abbiamo visto nella lezione correlata (link ad inizio e fine pagina), si definisce:

 

\log_a(b), \ \mbox{con} \ a,b \textgreater 0, \ a \neq 1 

 

quel numero c tale che: a^c=b.

 

Volendo esprimere il tutto in una formula:

 

\log_a(b)=c \iff a^c=b

 

Quindi trovare il valore dei logaritmi assegnati vuol dire, in soldoni, trovare quel numero (c) a cui elevare la base (a) per ottenere l'argomento (b)

 

Chiarito questo abbiamo:

 

1.I) Log(10)={\color{red}1}; \ \ \log_{2}{(8)}={\color{red}3}

 

In quanto con la scrittura Log\mbox{(argomento)} si intende il logaritmo in base 10. E quel numero (c) a cui elevare la base (a=10) per ottenere l'argomento (b=10) è proprio 1.

 

Stesso discorso per \log_2(8). Dobbiamo infatti trovare quel numero a cui elevare 2 (la base) per ottenere 8 (l'argomento). Poiché 23=8, 3 sarà proprio il valore del logaritmo proposto.

 

1.II) \ln{\left(e^{\frac{3}{2}}\right)}={\color{red}\frac{3}{2}}; \ \ \log_{2}{\left(\frac{1}{4}\right)}={\color{red}-2}

 

infatti con \ln\mbox{(argomento)} si intende il logaritmo in base e (numero di Nepero) e quel numero a cui elevare e per ottenere e^{\frac{3}{2}} è, indubbiamente, \frac{3}{2}

 

Trovare invece il valore di \log_2{\left(\frac{1}{4}\right)} come ormai avrete capito, equivale a trovare quel numero a cui elevare 2 per ottenere 1/4.

 

Per come sono definite le potenze con esponente negativo quel numero è proprio -2, infatti:

 

2^{-2}=\left(\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}

 

1.III) \log_{\frac{1}{4}}{\left(\frac{1}{64}\right)}={\color{red}3}; \ \ \log_{\frac{2}{3}}{\left(\frac{9}{4}\right)}={\color{red}-2}

 

in quanto:

 

\left(\frac{1}{4}\right)^3 = \frac{1}{64} \ \mbox{e} \ \left(\frac{2}{3}\right)^{-2}=\left(\frac{3}{2}\right)^2=\frac{9}{4}

 

Ormai dovreste aver capito. Ci limitiamo quindi a fornirvi le soluzioni:

 

1.IV) \log_{\frac{5}{4}}{\left(\frac{64}{125}\right)}={\color{red}-3}; \ \ \log_{3}{\left(\frac{1}{9}\right)^{-\frac{2}{3}}}={\color{red}\frac{4}{3}}

 

1.V) \log_{\frac{3}{4}}{\left(\frac{9}{16}\right)^{\frac{3}{2}}}={\color{red}3}; \ \ \log_{\sqrt{2}}{(2)^{\frac{3}{4}}}={\color{red}\frac{3}{2}}

 

Esercizi: trova l'argomento con la base e il valore del logaritmo


Determina gli argomenti dei seguenti logaritmi a partire dalla base e dal valore che assumono:


2.I) \log_{3}{(x)}=2; \ \ \log_{2}{(x)}=1

 

2.II) \log_{\frac{1}{3}}{(x)}=-3; \ \ \log_{\frac{16}{25}}{(x)}=\frac{1}{2}

 

2.III) Log{(x)}=-3; \ \ \log_{\sqrt[3]{4}}{(x)}=-\frac{9}{2}

 

2.IV) \ln{(x)}=-\frac{4}{3}; \ \ \log_{\sqrt{2}}{(x)}=\frac{12}{5}

 

2.V) \log_{2}{(x)}=0; \ \ \log_{\sqrt{2}}{(x)}=\frac{2}{3}

 


 

Svolgimento e soluzioni (in rosso):

 

Tutto ruota sempre attorno alla definizione di logaritmo:

 

\log_a(b)=c \iff \ (*) \ a^c=b, \ \mbox{con} \ a,b \textgreater 0, \ a\neq 1

 

Questa volta il termine incognito (quello da determinare) è l'argomento (b) e sono noti sia la base (a) che il valore del logaritmo (c).

 

Essendo (*) un'uguaglianza, possiamo leggerla al contrario: b=a^c,

 

quindi, molto semplicemente, trovare il valore dell'argomento (b) che negli esercizi proposti abbiamo indicato con x, equivale a trovare il valore della potenza a^c, niente di più!

 

2.I) \log_{3}{(x)}=2 \ \to \ x=3^2={\color{red}9}; \ \ \log_{2}{(x)}=1 \ \to \ x=2^1={\color{red}2}

 

2.II) \log_{\frac{1}{3}}{(x)}=-3 \ \to \ x=\left(\frac{1}{3}\right)^{-3}={\color{red}27}; \ \ \log_{\frac{16}{25}}{(x)}=\frac{1}{2} \ \to \ x=\left(\frac{16}{25}\right)^{\frac{1}{2}}={\color{red}\frac{4}{5}}

 

(in caso di dubbi dai un'occhiata a: potenze con esponente frazionario - click!)

 

2.III) Log{(x)}=-3 \ \to \ x=10^{-3}={\color{red}\frac{1}{1000}}

 

\log_{\sqrt[3]{4}}{(x)}=-\frac{9}{2} \ \to \ x=\left(\sqrt[3]{4}\right)^{-\frac{9}{2}}={\color{red}\frac{1}{8}}

 

infatti

 

\left(\sqrt[3]{4}\right)^{-\frac{9}{2}}=\left(4^{\frac{1}{3}}\right)^{-\frac{9}{2}}=

 

(per le proprietà delle potenze)

 

=4^{\frac{1}{3} \cdot \left(-\frac{9}{2}\right)}=4^{-\frac{3}{2}}=\left(\frac{1}{4}\right)^{\frac{3}{2}}=\sqrt{\frac{1}{64}}=\frac{1}{8}

 

2.IV) \ln{(x)}=-\frac{4}{3} \ \to \ x=e^{-\frac{4}{3}}={\color{red}\frac{1}{e}\sqrt[3]{\frac{1}{e}}}; \ \ \log_{\sqrt{2}}{(x)}=\frac{12}{5} \ \to \ x={\color{red}2\sqrt[5]{2}}

 

2.V) \log_{2}{(x)}=0 \ \to \ x={\color{red}1}; \ \ \log_{\sqrt{2}}{(x)}=\frac{2}{3} \ \to \ x={\color{red}\sqrt[3]{2}}

 

Esercizi: trova il valore della base conoscendo l'argomento ed il valore del logaritmo

 

Devi determinare il valore della base del logaritmo essendo noti sia il valore del logaritmo che l'argomento.

 

3.I) \log_{x}{\left(32\right)}=5; \ \ \log_{x}{\left(81\right)} = 2 

 

3.II) \log_{x}{\left(100\right)}=-2; \ \ \log_{x}{\left(\frac{1}{64}\right)} = -3 

 

3.III) \log_{x}{\left(8\right)}=-3; \ \ \log_{x}{\left(\frac{1}{25}\right)} = 2 

 

3.IV) \log_{x}{\left(2\right)}=2; \ \ \log_{x}{\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)} = -1 

 

3.V) \log_{x}{\left(\frac{1}{32}\right)}=-5; \ \ \log_{x}{\left(8\right)} = \frac{3}{2} 

 


 

Svolgimento e soluzioni (in rosso):

 

Indovinate un po' a cosa bisogna ricorrere? Esatto! Proprio alla definizione di logaritmo Laughing

 

Ricordando, per la terza volta, che il valore del logaritmo (c) è quel numero a cui bisogna elevare la base (a) per ottenere l'argomento (b), conoscendo, questa volta, il valore del logaritmo (c) e dell'argomento (b):

 

per trovare la base (che negli esercizi abbiamo indicato con x) basta risolvere le semplicissime equazioni esponenziali:

 

x^c=b

 

che man mano si presenteranno. Tutto qui! Alla luce di ciò risolviamo gli esercizi proposti:

 

3.I) \log_{x}{\left(32\right)}=5 \ \to \ x^5=32

 

Ora, la scomposizione in fattori primi del 32 è: 32=2^5, pertanto abbiamo:

 

\log_{x}{\left(32\right)}=5 \ \to \ x^5=32 \ \to \ x^5=2^5 \ \to \ x={\color{red}2}

 

\log_{x}{\left(81\right)} = 2 \ \to \ x^2=81=9^2 \ \to \ x={\color{red}9} 

 

3.II) \log_{x}{\left(100\right)}=-2 \ \to \ x^{-2}=100

 

Il numero 100 lo possiamo scrivere come:

 

100=10^2=\left(\frac{1}{10}\right)^{-2}

 

Riconducendoci così ad avere:

 

\log_{x}{\left(100\right)}=-2 \ \to \ x^{-2}=100=\left(\frac{1}{10}\right)^{-2} \ \to \ x={\color{red}\frac{1}{10}}

 

\log_{x}{\left(\frac{1}{64}\right)} = -3 \ \to \ x={\color{red}4} 

 

3.III) \log_{x}{\left(8\right)}=-3 \ \to \ x={\color{red}\frac{1}{2}}; \ \ \log_{x}{\left(\frac{1}{25}\right)} = 2 \ \to \ x={\color{red}\frac{1}{5}} 

 

3.IV) \log_{x}{\left(2\right)}=2 \ \to \ x={\color{red}\sqrt{2}}; \ \ \log_{x}{\left(\sqrt{\frac{2}{3}}\right)} = -1 \ \to \ x={\color{red}\sqrt{\frac{3}{2}}} 

 

3.V) \log_{x}{\left(\frac{1}{32}\right)}=-5 \ \to \ x={\color{red}2}; \ \ \log_{x}{\left(8\right)} = \frac{3}{2} \ \to \ x={\color{red}4} 

 


 

Se hai bisogno di aiuto o di un chiarimento, se vuoi altri esercizi passa alla scheda 2 (link in basso). Eventualmente cerca qui su YM con l'apposita barra (in alto a destro in ogni pagina). Tra le decine di migliaia di esercizi risolti potrebbe esserci proprio il tuo... Laughing

 

PS: se vuoi usare questi esercizi perchè dai ripetizioni, vuoi pubblicarli sul tuo blog o se vuoi stamparli e usarli per accendere il caminetto, ti saremmo grati se tu citassi YouMath.it ! ;-)

 

Buon lavoro!

Agente Ω

 

Lezione correlata..........Passa alla seconda scheda di esercizi


Tags: esercizi sulla definizione di logaritmo e sul calcolo dei logaritmi.