Esercizi sul valore assoluto

Molti studenti entrano nel panico quando vedono o sentono nominare il valore assoluto. È proprio questo il motivo che ci ha spinto a scrivere questa scheda di esercizi svolti sul valore assoluto grazie ai quali potrete prendere confidenza con la definizione e le caratteristiche di questa funzione che magari non vi spaventerà più. 

 

Nello specifico troverete una serie di esercizi tramite i quali prenderete confidenza con la definizione, seguiti da una serie di vero o falso utili a ripetere le caratteristiche di questa funzione per poi passare ad un esercizio molto carino che svelerà trucchi e consigli per riconoscere il grafico di una funzione in valore assoluto.

 

 

Cosa non troverai qui:

 

- equazioni con valore assoluto;

- disequazioni con valore assoluto.

 

Prima di procedere è quanto mai consigliabile leggere almeno una volta a questo articolo: valore assoluto e sue proprietà. Fatto? Bene! Possiamo proseguire!

 

Esercizi sulla definizione di valore assoluto

 

Scrivi i seguenti valori assoluti in forma estesa, eliminando cioè il valore assoluto e specificando il segno dell'argomento.

 

I) \left|x+1\right|

 

II) \left| -x+2 \right|

 

III) \left| -x-5 \right|

 

IV) \left| x^2-5x+6 \right|

 

V) \left| x^2+8x+16 \right|

 

VI) \left| x^7+12x^6+35x^5 \right|

 

VII) \left| \frac{x+1}{x-1}\right|

 

VIII) \left| \frac{x^2}{x^2+9x+20}\right|

 

IX) \left|e^x - 1\right|

 

X) \left| \frac{\sin(x)-\frac{1}{2}}{-\cos(x)-\frac{1}{2}} \right|, \ \mbox{con} \ x \in [0,2\pi]

 


 

Svolgmenti e soluzioni

 

Come già abbiamo anticipato l'esercizio ruota attorno alla definizione di valore assoluto di x. Rivediamola un attimo:

 

|x|=\begin{cases}x \ \mbox{se} \ x\ge 0 \\ -x \ \mbox{se} \ x \textless 0 \end{cases}

 

Pertanto, per ogni esercizio proposto, non dobbiamo far altro se non studiare il segno dell'argomento del valore assoluto - diciamolo A(x) - per poi scrivere:

 

|A(x)|=\begin{cases}A(x) \ \mbox{dove} \ A(x)\geq 0 \\ -A(x) \ \mbox{dove} \ A(x) \textless 0 \end{cases}

 

Chiarito ciò procediamo con gli esercizi proposti.

 

I) L'argomento del valore assoluto è x+1. Per studiarne il segno basta risolvere la disequazione di primo grado

 

x+1 \geq 0 \iff x \ge -1

 

Pertanto

 

\left|x+1\right|=\begin{cases} \begin{array}{l l l} x+1 & \mbox{se} & x \ge -1 \\ -(x+1)=-x-1 & \mbox{se} & x \textless -1 \end{array} \end{cases}

 

Procedendo allo stesso modo avremo:

 

II) \left|-x+2\right|=\begin{cases} \begin{array}{l l l} -x+2 & \mbox{se} & x \le 2 \\ -(-x+2)=x-2 & \mbox{se} & x \textgreater 2 \end{array} \end{cases}

 

III) \left|-x-5\right|=\begin{cases} \begin{array}{l l l} -x-5 & \mbox{se} & x \le -5 \\ -(-x-5)=x+5 & \mbox{se} & x \textgreater -5 \end{array} \end{cases}

 

IV) Studiare il segno dell'argomento di questo valore assoluto equivale a trovare l'insieme delle soluzioni della disequazione di secondo grado:

 

x^2-5x+6 \ge 0

 

che è soddisfatta per x\le 2 \ \vee \ x \ge 3

 

Pertanto:

 

\left|x^2-5x+6\right|=\begin{cases} \begin{array}{l l l} x^2-5x+6 & \mbox{se} & x \le 2 \ \vee \ x \ge 3 \\ -(x^2-5x+6)=-x^2+5x-6 & \mbox{se} & 2 \textless x \textless 3 \end{array} \end{cases}

 

V) \left| x^2+8x+16 \right|=x^2+8x+16

 

in quanto la disequazione

 

x^2+8x+16 \ge 0

 

è verificata per ogni valore di x essendo il discriminante associato all'equazione di secondo grado uguale a zero e il verso della disequazione maggiore o uguale.

 

Per dirla in altre parole l'argomento del valore assoluto è sempre positivo o, al più, nullo e quindi:

 

\left| x^2+8x+16 \right|=x^2+8x+16.

 

VI) Questa volta lo studio del segno dell'argomento del valore assoluto porta ad una disequazione di grado superiore a due

 

x^7+12x^6+35x^5 \ge 0

 

Effettuiamo quindi un raccoglimento totale del fattore x^5 così da avere

 

x^5(x^2+12x+35) \ge 0

 

Ora ci basta osservare che

 

x^5 \ge 0 \iff x \geq 0

 

x^2+12x+35 \ge 0 \iff x\le -7 \ \vee x \ge -5

 

Ecco la relativa tabella per lo studio dei segni dei fattori:

 

 

Tabella per il segno dell'argomento valore assoluto 

 

che ci permette di concludere che

 

\left|x^7+12x^6+35x^5\right|=\begin{cases} \begin{array}{l l l} x^7+12x^6+35x^5 & \mbox{se} & -7 \le x \le -5 \ \vee \ x \ge 0 \\ -x^7-12x^6-35x^5 & \mbox{se} & x \textless -7  \ \vee \ -5 \textless x \textless 0 \end{array} \end{cases}

 

VII) Per esplicitare il valore assoluto risolviamo la disequazione fratta 

 

\frac{x+1}{x-1} \geq 0

 

Il numeratore è positivo per x \ge -1.

Il denominatore è positivo (e non nullo) per x \textgreater 1.

 

La tabella dello studio del segno (che lasciamo a voi) ci permetterà di dire che

 

\left|\frac{x+1}{x-1}\right|=\begin{cases} \begin{array}{l l l} \frac{x+1}{x-1} & \mbox{se} & x \le -1 \ \vee \ x \textgreater 1 \\ -\frac{x+1}{x-1} & \mbox{se} & -1 \textless x \textless 1 \end{array} \end{cases}

 

VIII) Procedendo come nel caso precedente:

 

\left|\frac{x^2}{x^2+9x+20}\right|=\begin{cases} \begin{array}{l l l} \frac{x^2}{x^2+9x+20} & \mbox{se} & x \textless -5 \ \vee \ x \textgreater -4 \\ -\frac{x^2}{x^2+9x+20} & \mbox{se} & -5 \textless x \textless -4 \end{array} \end{cases}

 

IX) Lo studio del segno dell'argomento porta ad una semplicissima disequazione esponenziale:

 

e^x - 1 \geq 0 \iff x \ge 0

 

Pertanto:

 

\left|e^x-1\right|=\begin{cases} \begin{array}{l l l} e^x-1 & \mbox{se} & x \ge 0 \\ -(e^x-1)=1-e^x & \mbox{se} & x \textless 0 \end{array} \end{cases}

 

X) Risolvendo le due disequazioni goniometriche

 

\sin(x)-\frac{1}{2} \ge 0 \iff \frac{\pi}{6}\le x \le \frac{5}{6}\pi

 

-\cos(x)-\frac{1}{2} \textgreater 0 \iff \cos(x) +\frac{1}{2} \textless 0 \iff \cos(x) \textless -\frac{1}{2} \iff \frac{2}{3}\pi \textless x \textless \frac{4}{3}\pi

 

Ci riconduciamo alla seguente tabella dello studio del segno:

 


Studio del segno di una disequazione goniometrica in valore assoluto

 

 

grazie alla quale è immediato concludere che

 

\left| \frac{\sin(x)-\frac{1}{2}}{-\cos(x)-\frac{1}{2}} \right|=\begin{cases}\begin{array}{l l l} \frac{\sin(x)-\frac{1}{2}}{-\cos(x)-\frac{1}{2}} = -\frac{\sin(x)-\frac{1}{2}}{\cos(x)+\frac{1}{2}} & \mbox{se} & x \le \frac{\pi}{6} \ \vee \ \frac{2}{3}\pi \textless x \le \frac{5}{6}\pi \ \vee \ x \textgreater \frac{4}{3}\pi \\ -\frac{\sin(x)-\frac{1}{2}}{-\cos(x)-\frac{1}{2}}=\frac{\sin(x)-\frac{1}{2}}{\cos(x)+\frac{1}{2}} & \mbox{se} & \frac{\pi}{6} \textless x \textless \frac{2}{3}\pi \ \vee \ \frac{5}{6}\pi \textless x \textless \frac{4}{3}\pi \end{array} \end{cases}

 

Esercizi sulle proprietà del valore assoluto del tipo vero o falso

 

Dopo aver rivisto le proprietà del valore assoluto e le caratteristiche dell'omonima funzione (link della lezione a fine pagina) dire se le seguenti affermazioni sono vere o false giustificando le risposte.

 

I) |-3| \textless |-2|.

 

II) Per ogni coppia di numeri reali a, b: |a \cdot b| = |a| \cdot |b|.

 

III) |a+b|=|a|+|b| con a e b numeri reali. Domanda: per quali valori di a e b l'ultima uguaglianza è verificata?

 

IV) La funzione valore assoluto ha come dominio [0,+\infty).

 

V) L'immagine della funzione valore assoluto è l'intervallo [0,+\infty).

 

VI) Il valore assoluto è una funzione continua e derivabile su tutto \mathbb{R}.

 

VII) Il grafico della funzione valore assoluto presenta nell'origine un punto di cuspide.

 

VIII) La funzione valore assoluto è iniettiva.

 

IX) \frac{d}{dx}|x|=\left|\frac{d}{dx}(x)\right|=|1|=1

 

X) Per x>0 siamo in presenza di una funzione strettamente crescente.

 


 

Risposte e soluzioni:

 

I) Falso. Infatti |-3|=3 {\color{red}\textgreater} |-2|=2.

 

II) Vero.

 

III) Falso. Presi, ad esempio, a=3 e b=-1 si ha:

 

|a+b|=|3-1|=2 che non è uguale a |a|+|b|=|-3|+|-1|=3+1=4

 

La relazione corretta è:

 

|a+b| \le |a|+|b|

 

in particolare vale l'uguaglianza solo se a e b sono concordi (hanno lo stesso segno).

 

IV) Falso. Il dominio è tutto \mathbb{R}.

 

V) Vero. Come si può vedere facilmente osservandone il grafico, l'immagine della funzione valore assoluto è proprio [0,+\infty).

 

VI) Falso. Sebbene sia una funzione continua su tutto l'asse reale non è derivabile su tutto \mathbb{R}.

 

VII) Falso. Nell'origine ha un punto di non derivabilità, ma esso è un punto angoloso e non di cuspide, infatti:

 

\lim_{x\to 0^+}(|x|)=1 \ \mbox{e} \ \lim_{x \to 0^-}(|x|)=-1

 

VIII) Falso. Per dirlo basta osservare il grafico; ogni retta orizzontale interseca il grafico della funzione in due punti. Per saperne di più: come controllare se una funzione è iniettiva

 

IX) Falso. \frac{d}{dx}|x|=\frac{|x|}{x}.

 

Inutile dilungarci oltre; spieghiamo tutto qui: derivata del valore assoluto di x.

 

X) Vero! Per x>0 abbiamo una funzione strettamente crescente.

 

Esercizi: associa ad ogni funzione in valore assoluto il suo grafico

 

I) y=|x+1|

 

II) y=|x^2|

 

III) y=|x^2-2x|

 

IV) y=|x^3+1|

 

V) y=|x-1|

 

Valore assoluto di x al quadrato        valore assoluto di x al quadrato meno due x

Valore assoluto di x meno uno       Valore assoluto di x più uno

Valore assoluto di x alla terza più uno

 


 

Soluzione

 

Si potrebbe procedere per esclusione ma il nostro obiettivo è quello di farvi capire come ragionare.

 

In accordo con quanto visto nell'articolo sul grafico intuitivo di una funzione, se siamo in presenza di una funzione in modulo bisogna ribaltare rispetto all'asse x la parte del grafico che ha ordinate negative.

 

Osserviamo il grafico A). Rapprsenta una parabola di vertice l'origine e concavità verso l'alto. Dovremmo conoscere la sua equazione che è y=x^2. Essendo tale funzione positiva per ogni valore di x abbiamo che il grafico A) corrisponde alla funzione II).

 

Passiamo ora al grafico B). Ha l'idea di essere una parabola in cui la parte che stava al di sotto dell'asse x è stata ribaltata. Il vertice originale della parabola era il punto (1,-1) pertanto possiamo concludere che il grafico B) corrisponde alla funzione III).

 

Il grafico C) ricorda quello della funzione y=|x| traslato verso destra di 1. Pertanto in accordo con quanto detto nell'articolo sul grafico immediato di una funzione possiamo dire che corrisponde alla funzione V).

 

Ragionando allo stesso modo possiamo dire che la funzione I) ha come grafico D), concludendo che IV) corrisponde a E).

 

Per completezza diciamo che, in quest'ultimo caso, eravamo in presenza del grafico della funzione y=x^3 (funzione potenza con esponente dispari) traslato di uno verso l'alto: y=x^3+1 con un ribaltamento della parte negativa che ci porta alla funzione y=|x^3+1|.

 


 

Dopo questa carrellata di esercizi il vostro rapporto col valore assoluto dovrebbe essere migliorato. Wink Se ancora dovessi avere dubbi prova ad utilizzare la barra di ricerca e, se ancora non dovesse bastare, non esitare a contattarci nel Forum!

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

 

Lezione correlata


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