Esercizi cambiamento di base per logaritmi

Vi proponiamo ora una scheda di esercizi sulla formula del cambiamento di base per i logaritmi, tutti risolti, grazie ai quali potrete allenarvi un po' e soprattutto cogliere l'utilità della formula.

 

Nella lezione correllata abbiamo spiegato come utilizzarla e soprattutto come ricordarla. Prima di procedere con gli esercizi ti invitiamo, se non l'avessi già fatto, a darne almeno una lettura veloce: formula del cambiamento di base dei logaritmi - click!

 

Esercizi di tipo 1: valore dei logaritmi con la formula del cambiamento di base

 

Nota bene: è vietato l'uso della calcolatrice. ;)

 

I) \log_{4}(128)

 

II) \log_{0,25}(256)

 

III) \log_{25}(3125)

 

IV) \log_{\frac{1}{4}}\left(\frac{1}{8}\right)

 

V) \log_{2\sqrt{2}}(4)

 

VI) \log_{\frac{\sqrt{5}}{5}}(125\sqrt{5})

 

VII) \log_{4\sqrt{2}}\left(\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt[4]{2}}\right)

 

VIII) \log_{\sqrt[3]{5}}\left(25\sqrt[4]{5}\right)

 

IX) \log_{a^3}\left(\sqrt[4]{a^7}\right)

 

X) \log_{\sqrt{a}}\left(a\sqrt[4]{a}\right)

 


 

Svolgimento e soluzioni:

 

I) Poiché sia la base (4) che l'argomento (128) sono due potenze di 2, trasformiamo il logaritmo proposto in base 2:

 

\log_{4}(128)=\frac{\log_2(128)}{\log_2(4)}=\frac{\log_2(2^7)}{\log_2(2^2)}=

 

sfruttando una delle proprietà dei logaritmi possiamo scrivere il rapporto come:

 

=\frac{7\log_2(2)}{2\log_2(2)}=

 

per definizione di logaritmo risulta che \log_2(2)=1, quindi in definitiva:

 

=\log_4(128)={\color{red}\frac{7}{2}}

 

II) La frazione generatrice di 0,25 è \frac{1}{4} che, proprio come 256 è una potenza di 4. Portando quindi il tutto in base 4 abbiamo:

 

\log_{0,25}(256)=\frac{\log_{4}(256)}{\log_4\left(\frac{1}{4}\right)}=\frac{\log_4(4^4)}{\log_{4}(4^{-1})}=\frac{4}{-1}={\color{red}-4}

 

Facile vero? Ora tocca a voi sporcarvi le mani. Dei successivi esercizi vi forniamo solo il risultato... ;)

 

III) \frac{5}{2}

 

IV) \frac{3}{2}

 

V) \frac{4}{3}

 

VI) -7

 

VII) \frac{1}{30}

 

VIII) \frac{27}{4}

 

IX) \frac{7}{12}

 

X) \frac{5}{2}

 

Esercizi tipo 2: cambiamento di base per logaritmi e calcolatrice

 

Calcolare il valore dei seguenti logaritmi portandoli dapprima in base naturale (o base 10) e poi usando la calcolatrice.

 

I) \log_{5}(180)

 

II) \log_{3}(\sqrt{5})

 

III) \log_{8}(100)

 

IV) \log_{51}(12)

 

V) \log_{\frac{3}{10}}(7)

 


 

Svolgimento e soluzioni:

 

I) Scegliamo di portare il logaritmo proposto in base e (base naturale):

 

\log_{5}(180)=\frac{\ln(180)}{\ln(5)}

 

A questo punto facciamo entrare in gioco la nostra calcolatrice così da ottenere:

 

\log_{5}(180)=\frac{\ln(180)}{\ln(5)}\simeq \frac{5,19}{1,61} \simeq 3,22

 

(abbiamo scelto di approssimare i risultati alla seconda cifra decimale, ma volendo potresti aumentare il numero ed ottenere un risultato più preciso).

 

II) Portiamolo questa volta in base 10:

 

\log_{3}(\sqrt{5})=\frac{Log(\sqrt{5})}{Log(3)}\simeq \frac{0,35}{0,48} \simeq 0,73

 

Ora tocca a te. Scegli tu in quale base portarli: è indifferente ai fini del risultato. Noi ti forniamo le soluzioni che puoi utilizzare come verifica di quello che hai fatto..

 

III) \simeq 2,21

 

IV) \simeq 0,63

 

V) \simeq -1,62

 

Esercizi tipo 3: espressioni con logaritmi e applicazione del cambiamento di base

 

Risolvi i seguenti esercizi: semplifica le espressioni logaritmiche usando opportunamente la formula del cambiamento di base.

 

I) \log_3(5) \cdot \log_{25}(27)

 

II) \log_{4}(49) - \log_2(7)

 

III) \log_{2}(3) \cdot \log_{9}(4)

 

IV) \log_3(4) \cdot \log_4 (5) \cdot \log_5(6) \cdot \log_6(7) \cdot \log_7(8) \cdot \log_8(9)

 

V) 2\log_{9}(2)+\log_3(2)-\log_3(4)

 


 

Svolgimento e soluzioni:

 

I) Portiamo entrambi i logaritmi in base e (numero di Nepero).

 

\log_3(5)=\frac{\ln(5)}{\ln(3)}

 

\log_{25}(27)=\frac{\ln(27)}{\ln(25)}

 

Quest'ultima frazione la possiamo scrivere come:

 

\log_{25}(27)=\frac{\ln(27)}{\ln(25)}=\frac{\ln(3^3)}{\ln(5^2)}=\frac{3\ln(3)}{2\ln(5)}

 

A questo punto abbiamo

 

\log_3(5) \cdot \log_{25}(27)=\frac{\ln(5)}{\ln(3)} \cdot \frac{3\ln(3)}{2\ln(5)}

 

Ovvero un prodotto tra frazioni che, dopo le dovute semplificazioni, ci darà:

 

\log_3(5) \cdot \log_{25}(27)=\frac{\ln(5)}{\ln(3)} \cdot \frac{3\ln(3)}{2\ln(5)}=\frac{3}{2}

 

Vi sarete resi conto da soli che la scelta della base è stata del tutto indifferente. Avremmo potuto benissimo scegliere un numero qualsiasi come base (seppur maggiore di zero e diverso da 1) e giungere ugualmente allo stesso risultato.

 

II) Scegliamo di scrivere il \log_4(49) in base 2:

 

\log_4(49)=\frac{\log_2(49)}{\log_2(4)}=\frac{\log_2(7^2)}{\log_2(2^2)}=\frac{2\log_2(7)}{2\log_2(2)}=\log_2(7)

 

Morale della favola:

 

\log_{4}(49) - \log_2(7)=\log_2(7)-\log_2(7)=0

 

III) Scrivi il secondo logaritmo in base 2, fai le opportune semplificazioni e otterrai:

 

\log_{2}(3) \cdot \log_{9}(4)=1

 

IV) Porta tutto ad una stessa base (a tua scelta...come nel caso I è del tutto indifferente). Alla fine avrai:

 

\log_3(4) \cdot \log_4 (5) \cdot \log_5(6) \cdot \log_6(7) \cdot \log_7(8) \cdot \log_8(9)=2

 

V) Qui la scelta è quasi obbligata. Trasforma il primo logaritmo in base 3:

 

2\log_{9}(2)+\log_3(2)-\log_3(4)=\mbox{...}=\log_3(2)+\log_3(2)-\log_3(4)

 

A questo punto applica le proprietà dei logaritmi.. Otterrai:

 

\log_3(1)=0 

 


 

Per il momento è tutto! Prima di salutarvi, visto che state studiando i logaritmi potrebbero risultarvi molto utili:

 

- I nostri esercizi svolti sui logaritmi con la definizione - click!

- Gli esercizi sulle proprietà dei logaritmi - click!

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

 

Lezione correlata


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