Esercizi sulle funzioni logaritmiche

Proponiamo in questa pagina una serie di esercizi svolti sulle funzioni logaritmiche che vi aiuteranno a ricordare, una volte per tutte, le caratteristiche e le proprietà della:

 

funzione logaritmica con base maggiore di 1;

funzione logaritmo con base tra 0 e 1.

 

Prima di procedere con gli esercizi è quanto mai consigliabile dare almeno un'occhiata agli articoli dei due link precedenti. ;)

 

Esercizi risolti sulle funzioni logaritmiche

 

I) Specificare il dominio, l'immagine e l'insieme di appartenza della base di una funzione logaritmica.

 

II) Perché nella definizione data per la funzione logaritmo si escludono, come valori per la base, i valori 0 ed 1?

 

III) In quali quadranti giace il grafico della funzione logaritmo? Dipende dal valore della base?

 

IV) Quando la funzione logaritmo è crescente? E quando è decrescente?

 

V) Il grafico della funzione logaritmo interseca gli assi cartesiani? Se sì, in quanli punti? Se no, ha un comportamento particolare?

 

VI) Tracciare il grafico della funzione y=\ln(x) e da esso, dopo aver ricavato dominio e immagine della funzione, stabilire per quali valori di x la funzione è positiva e negativa. La funzione è iniettiva, suriettiva o biiettiva?

 

VII) Dopo aver disegnato il grafico della funzione y=\log_{\frac{1}{2}}(x) stabilisci per quali valori di x la funzione è positiva e negativa e dire se la funzione è suriettiva, iniettiva e biiettiva.

 

VIII) Rappresenta nello stesso piano cartesiano le funzioni:

 

\log_3(x) \ \mbox{e} \ \log_{\frac{1}{3}}(x)

 

Intravedi qualche simmetria?

 

IX) Dimostrare algebricamente che la funzione logaritmica è l'inversa della funzione esponenziale.

 

X) Disegna il grafico e individua la simmetria esistente tra le due funzioni:

 

y=2^x \ \mbox{e} \ y=\log_2(x)

 

XI) Se 0 \textless m \textless n allora \log_{\pi}(m) \ \mbox{...} \ \log_{\pi}(n)

 

XII) Se m \textgreater n \textgreater 0 allora \log_{\frac{1}{\pi}}(m) \ \mbox{...} \ \log_{\frac{1}{\pi}}(n)

 


 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Come abbiamo visto nelle lezioni correlate (link a inizio e fine pagina), la funzione logaritmica è definita del modo seguente:

 

\log_{a}: \ (0,+\infty) \to \mathbb{R}, \ x \mapsto \log_a(x)

 

con a\in \mathbb{R}, \ a \textgreater 0, \ a \neq 1. La sola definizione basta quindi per rispondere alle domande poste dal quesito.

 

II) Per capire come mai nella definizione della funzione logaritmo si escludono, come valori per la base, i valori 0 ed 1 rifacciamoci alla definizione di logaritmo.

 

Siano a, \ b, \ c tre numeri reali con a,b \textgreater 0, \ a\neq 1. Allora:

 

\log_{a}(b)=c \iff a^c=b

 

Ora, se a fosse uguale a zero, avremmo

 

\log_{0}(b)=c \iff 0^c=b

 

che è un'uguaglianza avente significato se e solo se c è strettamente maggiore di zero (in quanto zero alla zero, così come 0 elevato ad un numero negativo non hanno significato. Ricorda infatti che per come sono definite le potenze con esponente negativo lo zero passerebbe a denominatore)

 

Sotto queste condizioni del parametro c, l'uguaglianza sarebbe vera se e solo se b è uguale a 0, giacché zero elevato a qualsiasi numero strettamente positivo dà zero. Ma b non può essere zero (in quanto argomento del logaritmo) e quindi la funzione non avrebbe senso d'esistere.

 

Se invece fosse a=1 si avrebbe:

 

\log_{1}(b)=c \iff 1^c=b

 

L'ultima è un'equazione indeterminata se b=1 (in quanto 1 elevato a qualsiasi numero (c) dà sempre 1), impossibile se b \neq 1.

 

Questi i motivi per i quali si definisce la funzione logaritmo con base strettamente positiva e diversa da 1.

 

III) Indipendentemente dal valore della base (purché, ribadiamo, strettamente positiva e diversa da 1) la funzione logaritmica giace nel primo e quarto quadrante.

 

IV) La funzione logaritmica è monotona strettamente crescente se la base è maggiore di 1, monotona strettamente decrescente se la base è compresa tra 0 e 1.

 

V) La funzione logaritmo, indipendentemente dal valore della base, interseca l'asse x nel punto (1,0) e non interseca l'asse y.

 

Se però la base è maggiore di uno allora il semiasse negativo nelle y è un asintoto verticale; se la base è compresa tra 0 e 1 sarà un asintoto verticale il semiasse positivo delle ordinate.

 

VI) Il grafico della funzione y=\ln(x) è quello riportato nella figura seguente:

 

 

Grafico del logaritmo naturale

 

 

da cui si vede immediatamente che:

 

- il dominio è (0,+\infty)

- l'immagine è l'intervallo (-\infty, +\infty)

- la funzione è positiva per x>1, negativa per x<1, si annulla per x=1

 

Inoltre, poiché ogni retta orizzontale interseca la funzione in un solo punto essa è iniettiva; in caso di dubbi leggi la nostra guida su come controllare se una funzione è iniettiva - click!

 

Poiché il codominio coincide con l'immagine essa è anche suriettiva e di conseguenza sarà pure biiettiva.

 

VII) Procedi come nell'esercizio precedente.

 

VIII) Il grafico delle funzioni \log_3(x) \ \mbox{e} \ \log_{\frac{1}{3}}(x) è il seguente:

 

 

Confronto tra due funzioni logaritmiche con basi reciproche

 

 

Si osserva immediatamente che i due grafici sono simmetrici rispetto all'asse x. 

 

In generale questa proprietà vale per tutte le coppie di funzioni logaritmiche aventi come base due numeri reciproci.

 

IX) Abbiamo già osservato nel corso dei precedenti esercizi che la funzione logaritmo, purché abbia base strettamente positiva e diversa da 1 è iniettiva e suriettiva e di conseguenza invertibile.

 

Per determinarne la funzione inversa partiamo dalla definizione:

 

y=\log_a(x) \iff \ \mbox{(per definizione di logaritmo)} \ a^y=x

 

Quest'ultima altro non è se non la funzione esponenziale!

 

X) Le due funzioni sono simmetriche rispetto alla bisettrice del primo e terzo quadrante (in verde)

 

 

Confronto tra funzioni esponenziale e logaritmo con stessa base

 

 

In generale questo vale per tutte le coppie: funzione esponenziale - funzione logaritmo aventi stessa base.

 

XI) Se 0 \textless m \textless n allora \log_{\pi}(m) \ {\color{red}\textless} \ \log_{\pi}(n)

 

in quanto la funzione logaritmo con base maggiore di 1 è crescente e pi greco è una costante matematica maggiore di 1.

 

XII) Se m \textgreater n \textgreater 0 allora \log_{\frac{1}{\pi}}(m) \ {\color{red}\textless} \ \log_{\frac{1}{\pi}}(n)

 

A te il compito di dedurne il motivo... Wink

 


 

È tutto! In caso di dubbi, problemi o perplessità non esitare e cerca le risposte ai tuoi dubbi mediante la barra di ricerca interna, eventualmente puoi anche chiedere una mano nel Forum! Wink 

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

 

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