Esercizi sulla funzione esponenziale

Proponiamo qui di seguito una scheda di esercizi risolti sulle funzioni esponenziali, a nostro avviso molto simpatica e carina, che permetterà ai ragazzi del liceo (e perché no anche agli universitari), di prendere confidenza con la funzione esponenziale e le sue caratteristiche.

 

Tutta la teoria necessaria la trovate qui: funzione esponenziale con base maggiore di uno e funzione esponenziale con base tra zero e uno. Inoltre durante lo svolgimento degli esercizi che proporremo troverete una serie di link su argomenti che è bene ripassare e che potete raggiungere con un semplice click!

 

Esercizi sulle funzioni esponenziali

 

I) Perché nelle due definizioni di funzione esponenziale (con base maggiore di 1 e base compresa tra 0 e 1) si escludono, per la base, i valori 0 e 1?

 

II) Determinare il dominio e l'immagine di una generica funzione esponenziale

 

y=a^x, \ \mbox{con} \ a \in \mathbb{R}^+-\{0,1\}

 

III) Tracciare il grafico della funzione y=3^x e da esso ricavare dominio, immagine, ed i valori della variabile x per i quali la funzione è positiva, negativa, maggiore di 1 e minore di 1. La funzione è suriettiva, iniettiva o biiettiva? 

 

IV) Tracciare nello stesso sistema di riferimento i grafici delle seguenti funzioni:

 

y=2^x, \ y=3^x, \ y=6^x

 

Cosa ne puoi dedurre?

 

V) Tracciare il grafico della funzione y=\left(\frac{1}{2}\right)^x e da esso stabilire quale sia il dominio e l'immagine della funzione. Stabilire inoltre i valori che deve assumere la variabile x in modo tale che la funzione sia positiva, negativa, maggiore di 1 e minore di 1. Dedurne gli eventuali comportamenti asintotici e dire se la funzione è suriettiva, iniettiva o biiettiva.

 

VI) Traccia il grafico delle funzioni:

 

y=\left(\frac{1}{2}\right)^x, \ y=\left(\frac{1}{3}\right)^x, \ y=\left(\frac{1}{4}\right)^x

 

e trai le dovute conclusioni.

 

VII) Dopo aver disegnato il grafico delle funzioni

 

y=2^x \ \mbox{e} \ y=\left(\frac{1}{2}\right)^x

 

osserva e descrivi le eventuali simmetrie. Riesci a dedurne una regola generale?

 

VIII) Come sono i grafici delle funzioni e^x \ \mbox{e} \ e^{-x}?

 

IX) Se m \textgreater n allora (\pi)^m \ \mbox{...} \ (\pi)^n

 

X) Se 0\textless a \textless 1 \ \mbox{e} \ m \textgreater n allora a^m \ \mbox{...} \ a^n

 

XI) Che particolarità ha la retta tangente al grafico della funzione y=e^x nel punto A(0,1) ?

 


 

 

Spiegazioni e svolgimenti

 

I) Per rispondere alla domanda, considerata una generica funzione esponenziale:

 

y=a^x, \ a \in \mathbb{R}^+

 

vediamo cosa accade per a=0 ed a=1.

 

\bullet \ \mbox{Se} \ a=0

 

la funzione diventa y=0^x che:

 

- perde di significato per x=0 in quanto siamo di fronte alla forma zero alla zero;

- si riduce alla retta y=0 (asse x) se x \textgreater 0

- per come sono definite le potenze ad esponente negativo, perde di significato se x \textless 0

 

\bullet \ \mbox{Se} \ a=1

 

la funzione si riduce alla retta: y=1.

 

Per questi motivi non avrebbe alcun senso studiare la funzione esponenziale con base uguale a zero o ad 1 visto che ne sappiamo già tutto. :)

 

II) La funzione esponenziale:

 

y=a^x, \ \mbox{con} \ a \in \mathbb{R}^+-\{0,1\}

 

indipendentemente dalla base (maggiore di 1 o compresa tra 0 e 1) ha come dominio tutto \mathbb{R} e come immagine l'intervallo (0,+\infty).

 

Nota bene: se anche tu sei tra i tanti che confondono il concetto di immagine con quello di codominio è d'obbligo la seguente lettura: codominio di una funzione - click!

 

III) Il grafico della funzione y=3^x è il seguente:

 

Grafico della funzione esponenziale in base 3

 

Per tracciarlo con una discreta precisione possiamo avvalerci della seguente tabellina:

 

\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\cline{1-6} x & -2 & -1 & \ 0 & \ 1 & \ 2 \\ \cline{1-6} 3^x & \frac{1}{9} & \frac{1}{3} & \ 1 & \ 3 & \ 9 \\ \cline{1-6}\end{array}

 

come si evince da esso e come abbiamo già detto nell'esercizio precedente, il dominio è tutto l'asse reale, l'immagine è l'intervallo (0,+\infty).

 

La funzione è strettamente positiva per ogni valore di x, ovvero non è mai negativa o nulla, inoltre è:

 

- maggiore di 1 per x>0

- minore di 1 per x<0.

 

Il tutto si può evincere dal grafico o risolvendo le due semplicissime disequazioni esponenziali:

 

3^x \textgreater 1 \ \mbox{e} \ 3^x \textless 1

 

Poiché ogni retta orizzontale incontra il grafico della funzione in un solo punto la funzione è iniettiva: leggi la nostra guida su come stabilire se una funzione è iniettiva - click!

 

La funzione è anche suriettiva a patto di considerare come codominio l'insieme (0,+\infty). Dai un'occhiata a come controllare se una funzione è suriettiva Wink 

 

y=3^x è quindi anche una funzione biiettiva.

 

IV) Tracciamo il grafico delle tre funzioni esponenziali: y=2^x in rosso, y=3^x in blu e y=6^x in verde.

 

Per una maggiore precisione, oltre ad avvalerti di una tabellina simile a quella dell'esercizio precedente potresti aiutarti con nostro tool per tracciare il grafico di una funzione online.

 

 

Confronto del grafico di tre funzioni esponenziali

 

 

Possiamo osservare che, come ci si aspetta per definizione di funzione esponenziale, tutte e tre le funzioni passano per il punto (0,1) e che:

 

\bullet \ \mbox{Per} \ x \textless 0: \ 6^x \textless 3^x \textless 2^x

 

\bullet \ \mbox{Per} \ x \textgreater 0: \ 6^x \textgreater 3^x \textgreater 2^x

 

V) Procedi come nell'esercizio III).

 

VI) Discorso analogo all'esercizio IV).

 

VII) Tracciamo il grafico delle due funzioni:

 

 

Confronto tra funzioni esponenziali con basi reciproche

 

Si vede immediatamente che esse sono simmetriche rispetto all'asse y. In generale possiamo dire che i grafici delle funzioni

 

y=a^x \ \mbox{e} \ y=b^x, \ \mbox{con} \ a,b \in \mathbb{R}^+ - \{0,1\}

 

sono simmetrici rispetto all'asse y se e solo se a e b sono reciproci, ovvero se e solo se b=\frac{1}{a}

 

VIII) Per come sono definite le potenze ad esponente negativo:

 

e^{-x}=\left(\frac{1}{e}\right)^x

 

Quindi, per quanto detto nell'esercizio precedente, i grafici delle funzioni e^x \ \mbox{e} \ e^{-x} sono simmetrici rispetto all'asse y.

 

IX) La funzione esponenziale con base maggiore di 1 è monotona strettamente crescente.

 

Essendo \pi una costante matematica maggiore di 1 abbiamo:

 

se m \textgreater n allora (\pi)^m \ {\color{red}\textgreater} \ (\pi)^n

 

X) La funzione esponenziale con base tra 0 e 1 è monotona strettamente decrescente. Allora se

 

0\textless a \textless 1 \ \mbox{e} \ m \textgreater n: \ a^m \ {\color{red}\textless} \ a^n

 

XI) La retta tangente al grafico della funzione

 

y=e^x nel punto A(0,1) ha equazione:

 

y=x+1

 

ovvero è una retta parallela alla bisettrice del primo e terzo quadrante.

 


 

Dopo questa carrellata di esercizi le funzioni esponenziali non dovrebbero avere più segreti...Wink

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

 

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