Esercizi sui radicali doppi

In questa scheda troverete una serie di esercizi risolti sui radicali doppi grazie ai quali sarete in grado di:

 

- prendere confidenza con la formula di riduzione per i radicali doppi - click!

 

- con una serie di vero o falso capire una volta per tutte quelle poche nozioni teoriche che sono alla base della formula per trasformare i radicali doppi e che la maggior parte degli studenti, spesso, sottovaluta o addirittura non conosce.

 

Esercizi sulla semplificazione dei radicali doppi

 

Trasformare i seguenti radicali doppi nella somma o differenza di due radicali semplici:

 

I) \sqrt{4+\sqrt{7}}

 

II) \sqrt{11-\sqrt{21}}

 

III) \sqrt{7+\sqrt{13}}

 

IV) \sqrt{7+2\sqrt{6}}

 

V) \sqrt{8-2\sqrt{7}}

 

VI) \sqrt{11+2\sqrt{10}}

 

VII) \sqrt{\frac{7}{6}+\frac{2}{\sqrt{3}}}

 

VIII) \sqrt{6-2\sqrt{5}}(1-\sqrt{5})-\sqrt{20}

 

IX) \sqrt{3-\sqrt{2}-\sqrt{2}}

 

X) \sqrt{2^5+3\cdot 7^{\frac{1}{2}}}

 


 

Svolgimento e soluzioni (in rosso):

 

Basta applicare, in ciascun esercizio proposto, le formule di riduzione per i radicali doppi:

 

\sqrt{a\pm \sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a+\sqrt{a^2-b}}{2}} \pm \sqrt{\frac{a-\sqrt{a^2-b}}{2}}

 

avendo la premura di:

 

portare dentro radice eventuali fattori che sono fuori la \sqrt{b}

- assicurarci che a^2-b sia un quadrato perfetto.

 

Chiarito ciò...

 

I) Siamo di fronte ad un radicale doppio con a=4 \ \mbox{e} \ b=7.

 

a^2-b=4^2-7=16-7=9=3^2 è un quadrato e \sqrt{a^2-b}=\sqrt{3^2}=3

 

Pertanto:

 

\sqrt{4+\sqrt{7}}=\sqrt{\frac{4+3}{2}}+\sqrt{\frac{4-3}{2}}={\color{red}\sqrt{\frac{7}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}}

 


 

Procedendo allo stesso modo

 

II) {\color{red}\sqrt{\frac{21}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}}

 

III) {\color{red}\sqrt{\frac{13}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}}

 

IV) Dopo aver portanto il 2 sotto al segno di radice:

 

\sqrt{7+2\sqrt{6}}=\sqrt{7+\sqrt{24}}= \mbox{...}={\color{red}\sqrt{6}+1}

 

V) {\color{red}\sqrt{7}-1}

 

VI) {\color{red}\sqrt{10}+1}

 

VII) {\color{red}\sqrt{\frac{2}{3}}+\sqrt{\frac{1}{2}}}

 

VIII) {\color{red}-6}

 

Suggerimento: trasforma il radicale doppio dopodiché esegui il prodotto e ricorda che \sqrt{20}=2\sqrt{5} 

 

IX) {\color{red}\sqrt{2}-1}

 

X) {\color{red}3\sqrt{\frac{7}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}}

 

Suggerimento: le proprietà dei radicali tornano sempre utili!

 

Esercizi vero o falso sui radicali doppi

 

I) È possibile applicare la formula di trasformazione dei radicali doppi all'espressione \sqrt{3-\sqrt{10}}. Perché?

 

II) Non è possibile semplificare il seguente radicale doppio: \sqrt{21-3\sqrt{13}}

 

III) \frac{1}{\sqrt{3-\sqrt{5}}}=\frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{2} 

 

IV) \sqrt{-2\sqrt{3}+\sqrt{16}} = \sqrt{3}-1

 

V) \sqrt{11+\sqrt{10}} è trasformabile nella somma di radicali semplici.

 

VI) \left(\sqrt{5+\sqrt{21}}-\sqrt{4-\sqrt{7}}-\sqrt{2+\sqrt{3}}\right)^0=1

 

VII) \sqrt{\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}} \cdot (\sqrt{2}+\sqrt{3})^{-1} \ \mbox{e} \ \left( \sqrt{11-6\sqrt{2}}+\sqrt{2}-2 \right)^{-6} hanno lo stesso risultato.

 

VIII) \frac{1+\sqrt{10}}{\sqrt{11+2\sqrt{10}}}=-1

 

IX) \sqrt{4\sqrt{2}+2\sqrt{6}}=\sqrt[4]{18}+\sqrt[4]{2}

 

X) \left(\sqrt{4+\sqrt{12}}-\sqrt{12}\right) \cdot (\sqrt{3}-1) = 2(\sqrt{3}-1)

 


 

Soluzioni

 

I) Partendo dal presupposto che stiamo lavorando in \mathbb{R}, l'affermazione è falsa, cioè non possibile applicare la formula di trasformazione dei radicali doppi all'espressione \sqrt{3-\sqrt{10}}

 

Il motivo è presto detto. Posto a=3 \ \mbox{e} \ b=10, avremo

 

a^2-b=3^2-10=9-10=-1 \textless 0

 

e di conseguenza la radice quadrata di a^2-b non esisterà.

 

II) Falso! Infatti:

 

\sqrt{21-3\sqrt{13}}=\sqrt{21-\sqrt{3^2 \cdot 13}}=\sqrt{21-\sqrt{117}}

 

Allora a^2-b=21^2-117=441-117=324=18^2 (è un quadrato perfetto) e quindi la formula di riduzione è applicabile

 

III) Vero! Iniziamo col semplificare il radicale doppio a denominatore:

 

\sqrt{3-\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{5}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}

 

Allora:

 

\frac{1}{\sqrt{3-\sqrt{5}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{5}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}}

 

Possiamo ora razionalizzare ed ottenere

 

\frac{1}{\sqrt{3-\sqrt{5}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{5}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}}=\frac{\sqrt{\frac{5}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}}{2}

 

a questo punto ricordiamoci che

 

\sqrt{3-\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{5}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}

 

allora, per com'è definita la formula di riduzione per i radicali doppi, si ha che:

 

\sqrt{3+\sqrt{5}}=\sqrt{\frac{5}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}

 

e quindi

 

\frac{1}{\sqrt{3-\sqrt{5}}}=\frac{1}{\sqrt{\frac{5}{2}}-\sqrt{\frac{1}{2}}}=\frac{\sqrt{\frac{5}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}}{2}=\frac{\sqrt{3+\sqrt{5}}}{2}

 

IV) Vero! Infatti \sqrt{16}=4 e a questo punto si può applicare la solita formula..

 

V) Falso.

 

VI) Falso. Eseguendo i conti ricadrai nella forma zero alla zero ...

 

VII) Vero.

 

VIII) Falso.

 

IX) Vero. Infatti dopo aver raccolto a fattor comune 2\sqrt{2} avremo:

 

\sqrt{4\sqrt{2}+2\sqrt{6}}=\sqrt{2\sqrt{2}\left(2+\sqrt{3}\right)}=

 

(avendo ben presenti le proprietà dei radicali)

 

=\sqrt{2\sqrt{2}}\cdot \sqrt{(2+\sqrt{3})}=\sqrt{\sqrt{8}} \cdot \left(\sqrt{\frac{3}{2}}+\sqrt{\frac{1}{2}}\right)=\mbox{...}

 

(calcola la radice di radice e porta i radicali allo stesso indice per poi eseguire il prodotto..)

 

X) Falso. L'uguaglianza corretta è:

 

\left(\sqrt{4+\sqrt{12}}-\sqrt{12}\right) \cdot (\sqrt{3}-1) = 2(\sqrt{3}-2)

 


 

The End! Se non dovesse bastare puoi utilizzare la nostra barra di ricerca (in alto a destra in ogni pagina) grazie alla quale potrai raggiungere innumerevoli altri esercizi svolti...e se c'è qualche dubbio che proprio ti affligge, non esitare a contattarci nel Forum! Wink

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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