Esercizi sulla razionalizzazione

In questo articolo troverete una serie di esercizi svolti sulla razionalizzazione delle frazioni con denominatore irrazionale, argomento che vi invitiamo a non sottovalutare perché avrete molto spesso a che fare con frazioni da dover razionalizzare!

 

Tutta la teoria necessaria la trovate qui: razionalizzazione.

 

Prima di procedere vi invitiamo, infine, a mettervi alla prova risolvendo gli esercizi da soli e ad utilizzare i nostri svolgimenti solo per confronto.

 

Esercizi risolti sulla razionalizzazione


I) \frac{1}{\sqrt{2}}

 

II) \frac{\sqrt{3}-3}{2\sqrt{3}}

 

III) \frac{a+b}{\sqrt{a+b}}

 

IV) \frac{1}{\sqrt[5]{9}}

 

V) \frac{12}{\sqrt[3]{36}}

 

VI) \frac{3ab}{\sqrt[3]{ab}}

 

VII) \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}}

 

VIII) \frac{9}{\sqrt{5}+\sqrt{2}}

 

IX) \frac{6}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}}

 

X) \frac{5}{2-\sqrt[3]{3}}

 

XI) \frac{ab}{\sqrt[4]{a^2b^3}}

 

XII) \frac{4abc^2}{\sqrt[5]{48a^2b^3c}}

 

XIII) \frac{5abc}{\sqrt[3]{25a^2bc^2}}

 

XIV) \frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}}

 

XV) \frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}-1}}

 

XVI) \frac{\sqrt{3}-1}{\sqrt{4-2\sqrt{3}}}

 

XVII) \frac{1+2\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-2}

 

XVIII) \frac{2\sqrt{2}-2\sqrt{15}-5}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}

 

XIX) \frac{\sqrt[3]{a}-b}{\sqrt{b}+\sqrt[6]{a}}

 

XX) \frac{2a-\sqrt[3]{4a^2}}{\sqrt{2a}-\sqrt[3]{2a}}

 


 

 

Svolgimento e soluzioni (in rosso):

 

I) Al fine di togliere il radicale dal denominatore basta moltiplicare e dividere per la radice di due. Avremo infatti:

 

\frac{1}{\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}={\color{red}\frac{\sqrt{2}}{2}}

 

 

II) Basta procedere come nel caso precedente, moltiplicando numeratore e denominatore per la radice di 3. Dopo qualche semplicissimo conticino:

 

\frac{\sqrt{3}-3}{2\sqrt{3}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}}=\mbox{...}={\color{red}\frac{1-\sqrt{3}}{2}}

 

 

III) In questo caso per razionalizzare occorre moltiplicare e dividere per \sqrt{a+b}:

 

\frac{a+b}{\sqrt{a+b}} \cdot \frac{\sqrt{a+b}}{\sqrt{a+b}}=\frac{(a+b)(\sqrt{a+b})}{a+b}={\color{red}\sqrt{a+b}}

 

 

IV) Innanzitutto scriviamo il 9 come 32. Fatto questo ci riconduciamo a:

 

\frac{1}{\sqrt[5]{9}}=\frac{1}{\sqrt[5]{3^2}}

 

Affinché scompaia la radice dal denominatore dobbiamo fare il modo di avere, come radicando, una potenza con esponente uguale all'indice della radice. Ricordando allora com'è definito il prodotto tra radicali, basterà moltiplicare numeratore e denominatore per \sqrt[5]{3^3}:

 

\frac{1}{\sqrt[5]{9}}=\frac{1}{\sqrt[5]{3^2}} \cdot \frac{\sqrt[5]{3^3}}{\sqrt[5]{3^3}}=\frac{\sqrt[5]{27}}{\sqrt[5]{3^5}}={\color{red}\frac{\sqrt[5]{27}}{3}}

 

 

V) Dopo aver scomposto in fattori primi il 36=2^2 \cdot 3^2 avremo:

 

\frac{12}{\sqrt[3]{36}}=\frac{12}{\sqrt[3]{2^2 \cdot 3^2}}

 

Per razionalizzare dobbiamo quindi fare in modo che i fattori 2 e 3 del radicando abbiano esponente 3 (pari all'indice della radice). Per fare in modo che ciò accada moltiplichiamo e dividiamo per \sqrt[3]{2 \cdot 3}:

 

\frac{12}{\sqrt[3]{36}}=\frac{12}{\sqrt[3]{2^2 \cdot 3^2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{2 \cdot 3}}{\sqrt[3]{2 \cdot 3}}=\frac{12\sqrt[3]{6}}{\sqrt[3]{2^3 \cdot 3^3}}=\frac{12\sqrt[3]{6}}{6}={\color{red}2\sqrt[3]{6}}

 

 

VI) Stesso discorso del caso precedente. Basta moltiplicare numeratore e denominatore per \sqrt[3]{a^2b^2} ed avere:

 

\frac{3ab}{\sqrt[3]{ab}}={\color{red}3\sqrt[3]{a^2b^2}}

 

 

VII) Poiché a denominatore abbiamo una differenza tra due radicali, moltiplicheremo e divideremo per la loro somma:

 

\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}

 

In questo modo ci siamo ricondotti ad avere, a denominatore, una somma per differenza:

 

(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})=(\sqrt{3})^2-(\sqrt{2})^2=3-2=1

 

Morale della favola, avremo:

 

\frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}-\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}+\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}{(\sqrt{3}-\sqrt{2})(\sqrt{3}+\sqrt{2})}={\color{red}(\sqrt{3}+\sqrt{2})^2}

 

 

VIII) Stesso discorso. Ci ricondurremo, a denominatore, ad una somma per differenza moltiplicandolo, questa volta, per la differenza tra i due radicali:

 

\frac{9}{\sqrt{5}+\sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{5}-\sqrt{2}}{\sqrt{5}-\sqrt{2}}=\mbox{...}={\color{red}3(\sqrt{5}-\sqrt{2})}

 

 

IX) Sarà ancora un prodotto notevole a permetterci di razionalizzare il denominatore: la somma di cubi che, in generale, è data da:

 

a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)

 

Ora, il nostro denominatore è

 

\underbrace{\sqrt[3]{4}}_{a}+\underbrace{\sqrt[3]{2}}_{b}.

 

Moltiplicando quindi numeratore e denominatore per

 

\underbrace{(\sqrt[3]{4})^2}_{a^2}-\underbrace{\sqrt[3]{4}\cdot \sqrt[3]{2}}_{ab}+\underbrace{(\sqrt[3]{2})^2}_{b^2}=\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{8}+\sqrt[3]{4}=\sqrt[3]{16}-2+\sqrt[3]{4}

 

così da ricondurci a:

 

\frac{6}{\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}} \cdot \frac{\sqrt[3]{16}-2+\sqrt[3]{4}}{\sqrt[3]{16}-2+\sqrt[3]{4}}=\frac{6(\sqrt[3]{16}-2+\sqrt[3]{4})}{(\sqrt{4})^3+(\sqrt{2})^3}=

 

=\frac{6(\sqrt[3]{16}-2+\sqrt[3]{4})}{4+2}=\frac{6(\sqrt[3]{16}-2+\sqrt[3]{4})}{6}={\color{red}\sqrt[3]{16}-2+\sqrt[3]{4}}

 

 

X) Ricorreremo questa volta alla differenza tra due cubi:

 

a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)

 

Fissando a=2 \ \mbox{e} \ b=\sqrt[3]{3}

 

e moltiplicando numeratore e denominatore per

 

\underbrace{4}_{a^2}+\underbrace{2\sqrt[3]{3}}_{ab}+\underbrace{\sqrt[3]{9}}_{b^2}

 

verrà fuori:

 

\frac{5}{2-\sqrt[3]{3}} \cdot \frac{4+2\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}}{4+2\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}}=\frac{5(4+2\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9})}{2^3-(\sqrt[3]{3})^3}={\color{red}4+2\sqrt[3]{3}+\sqrt[3]{9}}

 

 

XI) Moltiplicando e dividendo per \sqrt[4]{a^2b} ci rincondurremo ad un radicando avente come fattori due potenze con esponente uguale al all'indice della radice e, dopo qualche conticino:

 

\frac{ab}{\sqrt[4]{a^2b^3}} \cdot \frac{\sqrt[4]{a^2b}}{\sqrt[4]{a^2b}}={\color{red}\sqrt[4]{a^2b}}

 

 

XII) Ormai divreste aver capito come procedere. Ci limitiamo, quindi a fornirvi il risultato:

 

{\color{red}\frac{2c}{3}\sqrt[5]{2 \cdot 3^4 a^3b^2c^4}}

 

 

XIII) {\color{red}\sqrt[3]{5ab^2c}}

 

 

XIV) Moltiplicando e dividendo per \sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}, come visto negli esempi VII) e VIII) ci riconduciamo ad una somma per differenza, da cui:

 

\frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1}-\sqrt{a-1}} \cdot \frac{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}{\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1}}=\frac{(\sqrt{a+1}+\sqrt{a-1})^2}{a+1-(a-1)}=

 

(sviluppando, a numeratore, il quadrato del binomio)

 

=\frac{a+1+2\sqrt{(a+1)(a-1)}+a-1}{2}=\frac{2a+2\sqrt{a^2-1}}{2}=

 

(raccogliendo a fattor comune un 2 e semplificando)

 

={\color{red}a+\sqrt{a^2-1}}

 

 

XV) Non è sempre detto che si riesca a razionalizzare in un solo colpo! Wink

 

In questo caso dobbiamo innanzitutto moltiplicare e dividere per \sqrt{\sqrt{2}-1} in modo da togliere la radice più esterna:

 

\frac{1}{\sqrt{\sqrt{2}-1}} \cdot \frac{\sqrt{\sqrt{2}-1}}{\sqrt{\sqrt{2}-1}}=\frac{\sqrt{\sqrt{2}-1}}{(\sqrt{\sqrt{2}-1})^2}=\frac{\sqrt{\sqrt{2}-1}}{\sqrt{2}-1}

 

Fatto questo, moltiplichiamo numeratore e denominatore per \sqrt{2}+1 in modo da ricadere in una somma per differenza, ovvero, continuando:

 

 \frac{\sqrt{\sqrt{2}-1}}{\sqrt{2}-1} \cdot \frac{\sqrt{2}+1}{\sqrt{2}+1}= \frac{(\sqrt{2}+1)\left(\sqrt{\sqrt{2}-1}\right)}{2-1}=(\sqrt{2}+1)\left(\sqrt{\sqrt{2}-1}\right)

 

Così potrebbe andar già bene! L'obiettivo di togliere i radicali dal denominatore l'abbiamo raggiunto! Ma se vogliamo rendere più bello il risultato possiamo trasportare dentro il segno di radice il fattore (\sqrt{2}+1) in modo da avere:

 

\sqrt{\left(\sqrt{2}+1\right)^2 \left(\sqrt{2}-1\right)}=

 

(sviluppando il quadrato del binomio e facendo qualche conticino)

 

=\sqrt{(3+2\sqrt{2})(\sqrt{2}-1)}=\sqrt{3\sqrt{2}-3+4-2\sqrt{2}}={\color{red}\sqrt{\sqrt{2}+1}}

 

 

XVI) {\color{red}1}. Procedimento per la razionalizzazione identico all'esercizio precedente.

 

Un altro modo per procedere potrebbe essere quello di utilizzare, a denominatore la formula risolutiva per i radicali doppi:

 

\sqrt{4-2\sqrt{3}}=\sqrt{4-\sqrt{12}}=\mbox{...}=\sqrt{3}-1

 

quantità che si semplificherà direttamente col numeratore giungendo così al medesimo risultato.

 

 

XVII) Facciamoci furbi! Scrivendo il denominatore come:

 

\frac{1+2\sqrt{6}}{\sqrt{2}+\sqrt{3}-2}=\frac{1+2\sqrt{6}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-2}

 

Possiamo moltiplicare e dividere per (\sqrt{2}+\sqrt{3})+2 in modo da ricadere in una somma per differenza:

 

\frac{1+2\sqrt{6}}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})-2} \cdot \frac{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+2}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})+2}=\frac{(1+2\sqrt{6})(\sqrt{2}+\sqrt{3}+2)}{(\sqrt{2}+\sqrt{3})^2-4}=

 

(sviluppando, al momento, solo i conti a denominatore)

 

\frac{(1+2\sqrt{6})(\sqrt{2}+\sqrt{3}+2)}{2+3+2\sqrt{6}-4}=\frac{(1+2\sqrt{6})(\sqrt{2}+\sqrt{3}+2)}{1+2\sqrt{6}}={\color{red}\sqrt{2}+\sqrt{3}+2}

 

 

XVIII) Con un procedimento simile al precedente, riscrivendo il denominatore come:

 

\frac{2\sqrt{2}-2\sqrt{15}-5}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{2}-2\sqrt{15}-5}{(1+\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{5})}

 

possiamo moltiplicare numeratore e denominatore per

 

(1+\sqrt{2})-(\sqrt{3}+\sqrt{5})

 

e ricondurci, ancora una volta, ad una somma per differenza:

 

\frac{2\sqrt{2}-2\sqrt{15}-5}{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{2}-2\sqrt{15}-5}{(1+\sqrt{2})+(\sqrt{3}+\sqrt{5})} \cdot \frac{(1+\sqrt{2})-(\sqrt{3}+\sqrt{5})}{(1+\sqrt{2})-(\sqrt{3}+\sqrt{5})}=

 

=\frac{(2\sqrt{2}-2\sqrt{15}-5)[(1+\sqrt{2})-(\sqrt{3}+\sqrt{5})]}{(1+\sqrt{2})^2-(\sqrt{3}+\sqrt{5})^2}=

 

(sviluppando i due quadrati di binomio a denominatore e facendo qualche conticino):

 

=\frac{(2\sqrt{2}-2\sqrt{15}-5)[1+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}]}{2\sqrt{2}-2\sqrt{15}-5}={\color{red}1+\sqrt{2}-\sqrt{3}-\sqrt{5}}

 

 

XIX) {\color{red}\sqrt[6]{a}-\sqrt{b}}

 

Indizio: è più semplice di quello che sembra! In questo e nel prossimo esercizio pensate sempre alla somma per differenza ;)

 

 

XX) {\color{red}\sqrt{2a}+\sqrt[3]{2a}}

 


 

È tutto! Se sei riuscito ad affrontare tutti gli esercizi senza aver bisogno dello svolgimento sei davvero pronto per la tua verifica! In caso contrario continua ad esercitarti e, se dovessi avere dubbi, problemi o perplessità non esitare a contattarci! Wink

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

 

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