Esercizi sui radicali

Se sei finito su questa pagina è perché sei alla ricerca di esercizi risolti sui radicali. La tua ricerca è finita! In questo articolo troverai una serie di esercizi sui radicali accuratamente svolti che serviranno per testare le tue conoscenze teoriche e di calcolo con i radicali.

 

Tutta la teoria necessaria la trovi qui: radicali e loro proprietà - click! Ti consigliamo di dare almeno una lettura prima di procedere con gli esercizi proposti.

 

Esercizi sulla definizione di radicale

 

Ti proponiamo ora una serie di esercizi che sarai in grado di affrontare nel migliore dei modi solo se avrai ben chiara la definizione di radicale.

 

Utilizzando la definizione, calcola il valore dei seguenti radicali

 

I) \sqrt{36}

 

II) \sqrt[3]{1000}

 

III) \sqrt[3]{-343}

 

IV) \sqrt{-25}

 

V) \sqrt[3]{20+\sqrt{44+\sqrt{30-\sqrt{23+\sqrt[3]{8}}}}}

 

VI) \sqrt[5]{29+\sqrt[4]{74+\sqrt{46+\sqrt[3]{27}}}}

 

VII) \sqrt[n-1]{2^{2n-2}}, \ \mbox{con} \ n \in \mathbb{N}, \ n \geq 3

 

VIII) 25^{\frac{3}{2}}

 

IX) 8^{-\frac{1}{3}}

 

X) \left(\frac{8a^3}{b^6}\right)^{\frac{2}{3}}, \ \mbox{con} \ b \neq 0

 


 

Soluzioni e svolgimento:

 

I) Poiché, come ben saprai, 6^2=36 \ \mbox{allora} \ \sqrt{36}={\color{red}6}

 

II) \sqrt[3]{1000}={\color{red}10} \ \mbox{in quanto} \ 1000=10^3

 

III) \sqrt[3]{-343}={\color{red}-7}

 

(se anche tu eri dell'idea che 343 fosse un numero primo, ti consigliamo ti prendere visione dei criteri di divisibilità). Tongue out

 

IV) \sqrt{-25} non esiste!

 

V) Per trovare il valore di questo tipo di radicali bisogna partire dalla radice più interna. Essendo:

 

\sqrt[3]{8}=2 avremo:

 

\sqrt[3]{20+\sqrt{44+\sqrt{30-\sqrt{23+\sqrt[3]{8}}}}}=\sqrt[3]{20+\sqrt{44+\sqrt{30-\sqrt{23+2}}}}=

 

=\sqrt[3]{20+\sqrt{44+\sqrt{30-\sqrt{25}}}}

 

Ancora, poiché \sqrt{25}=5 \ \mbox{e} \ 30-5=25 abbiamo:

 

\sqrt[3]{20+\sqrt{44+\sqrt{30-\sqrt{25}}}}=\sqrt[3]{20+\sqrt{44+\sqrt{30-5}}}=

 

=\sqrt[3]{20+\sqrt{44+\sqrt{25}}}=\sqrt[3]{20+\sqrt{44+5}}

 

Ora \sqrt{44+5}=\sqrt{49}=7 \ \mbox{e} \ 20+7=27, quindi:

 

\sqrt[3]{20+\sqrt{44+5}}=\sqrt[3]{20+\sqrt{49}}=\sqrt[3]{20+7}=\sqrt[3]{27}=3

 

Ovvero:

 

\sqrt[3]{20+\sqrt{44+\sqrt{30-\sqrt{23+\sqrt[3]{8}}}}}={\color{red}3}

 

VI) {\color{red}2} (procedimento analogo all'esercizio precedente)

 

VII) \sqrt[n-1]{2^{2n-2}}, \ \mbox{con} \ n \in \mathbb{N}, \ n \geq 3

 

In generale \sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}, pertanto:

 

\sqrt[n-1]{2^{2n-2}}=2^{\frac{2n-2}{n-1}}=

 

(raccogliendo a fattor comune un 2 a numeratore)

 

2^{\frac{2(n-1)}{n-1}}=2^2={\color{red}4}

 

VIII) Stesso discorso dell'esercizio precedente. Per come sono definite le potenze con esponente fratto:

 

25^{\frac{3}{2}} = \sqrt[2]{25^3} = \sqrt{5^6} = 5^3 = {\color{red}125}

 

IX) Siamo di fronte ad una potenza con esponente negativo, ovvero:

 

8^{-\frac{1}{3}}=\frac{1}{8^{\frac{1}{3}}}=\frac{1}{\sqrt[3]{8}}={\color{red}\frac{1}{2}}

 

X) {\color{red}\frac{4a^2}{b^4}}

 

Esercizi su condizioni di esistenza e proprietà dei radicali

 

Avendo ben presente la definizione, le condizioni di esistenza e le proprietà dei radicali, rispondi alle seguenti domande.

 

I) Perché è errato scrivere \sqrt{49}=-7 ?

 

II) Esiste, nell'insieme dei numeri reali, la radice quadrata di un numero negativo? Perché?

 

III) Quando la radice quadrata di un numero a è un numero irrazionale? 

 

IV) Come deve essere il radicando a affinché il radicale \sqrt[3]{a} dia luogo ad un numero razionale?

 

V) Quali condizioni devono soddisfare i seguenti radicali:

 

\sqrt[3]{a+1}, \ \sqrt[4]{a^2-1}, \ \sqrt{a-b}, \ \sqrt[n]{a \cdot b}

 

affinché esistano? (Ovviamente stiamo intendendo che si lavori in \mathbb{R})

 

VI) \left(2 \sqrt[3]{2}\right)^4 = 32 \sqrt[3]{2}. Vero o falso?

 

VII) \sqrt[4]{5^2+7^2}=\sqrt{12}. Vero o falso?

 

VIII) \sqrt[4]{3^2 \cdot 4^2}=\sqrt{12}. Vero o falso?

 

IX) Come si può giustificare l'uguaglianza \sqrt[n]{a^{n+3}}=a\sqrt[n]{a^3}, \ \mbox{con} \ a \geq 0, \ n \in \mathbb{N} ?

 

X) Se a è un numero reale diverso da 1, quali valori devono assumere a e b affinché \sqrt[3]{a^b}=1?

 


 

Soluzioni:

 

I) Ne abbiamo parlato più che ampiamente nella lezione correlata a questa scheda di esercizi sui radicali. Trovi il link a fondo pagina.

 

II) Affinché esista la radice quadrata di un numero reale a: \sqrt{a}, a deve essere un numero maggiore o uguale a zero, in quanto, per definizione di radicale:

 

\sqrt{a}=b \ \iff \ b^2=a, \ \mbox{con} \ a,b \geq 0

 

Ovvero trovare la radice quadrata di a vuol dire trovare un numero positivo b tale che b^2=a.

 

Ora: b^2, in quanto quadrato, è di sicuro un numero positivo o al massimo nullo, di conseguenza non potrà mai essere uguale ad un numero a negativo.

 

Possiamo allora concludere che la radice quadrata di un numero negativo, non esiste.

 

III) Poiché, supposto che a sia un numero positivo o nullo:

 

\sqrt{a^2}=a (che è un numero naturale),

 

affinché la radice quadrata di a sia un numero irrazionale, a non deve essere un quadrato perfetto.

 

IV) Intendendo i numeri razionali come frazioni, \sqrt[3]{a} è un numero razionale se a è un numero razionale tale che numeratore e denominatore siano due cubi. 

 

V) \sqrt[3]{a+1} è definita per ogni a appartenente all'insieme dei numeri reali.

 

\sqrt[4]{a^2-1}, essendo di fronte ad una radice con indice pari è un radicale definito solo se

 

a^2-1 \geq 0

 

che è una disequazione di secondo grado soddisfatta per a \leq -1 \ \vee \ a \geq 1.

 

Il radicale \sqrt{a-b} è definito se e solo se a-b \ge 0 \ \iff \ a \ge b.

 

Da ultimo \sqrt[n]{a \cdot b} non ha problemi di sorta se n è dispari, mentre se n è pari, dobbiamo richiedere che sia

 

a \cdot b \geq 0 \ \iff \ a,b \geq 0 \ \vee \ a,b \leq 0

 

VI) Vero.

 

VII) Falso.

 

VIII) Vero.

 

IX) Per una delle proprietà delle potenze:

 

a^{n+3}=a^n \cdot a^3

 

per cui

 

\sqrt[n]{a^{n+3}}= \sqrt[n]{a^n \cdot a^3}

 

Possiamo ora portare il fattore a^n fuori dal segno di radice, così da avere:

 

\sqrt[n]{a^{n+3}}= \sqrt[n]{a^n \cdot a^3}= a\sqrt[n]{a^3}

 

X) Per com'è definita una potenza alla zero 

 

\sqrt[3]{a^b}=1 \ \iff \ a \neq 0, \ \mbox{e} \ b=0

 

Esercizi sulle espressioni con i radicali

 

Utilizzando le proprietà dei radicali calcola il valore delle seguenti espressioni con i radicali.

 

I) 2\sqrt{2}+\sqrt{18}-\sqrt{8}+\sqrt{50}

 

II) \sqrt{\frac{9}{8}}-\sqrt{\frac{49}{18}}+\sqrt{\frac{81}{50}}

 

III) 5\sqrt[3]{16}-\sqrt[3]{54}+\sqrt[3]{250}+\sqrt[4]{162}-\sqrt[4]{32}

 

IV) \sqrt{\sqrt[3]{2}} \cdot \sqrt[4]{2}

 

V) \sqrt[4]{\sqrt[5]{6}} \cdot \sqrt{\sqrt[5]{4}}:\sqrt[10]{\sqrt{3}}

 

VI) \left( \sqrt{2\sqrt{5}}\right)^2+(2+\sqrt{5})^2+(3-\sqrt{5})^2+\left(\sqrt{7}-7\sqrt{2} \right) \left(\sqrt{7}+7\sqrt{2} \right)

 

VII) \sqrt[4]{4 \sqrt{3}+4\sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{4 \sqrt{3}-4\sqrt{2}} + \sqrt[3]{4 \sqrt{6}+2\sqrt{8}} \cdot \sqrt[3]{4 \sqrt{6}-2\sqrt{8}}

 

VIII) \left[ \left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)^2 - \left(\sqrt{6}-1\right)^2 \right]:\frac{1}{2\sqrt{6}+1}

 

IX)\sqrt{\sqrt{5a+4} + \sqrt{5a-4}} \cdot \sqrt{\sqrt{5a+4} - \sqrt{5a-4}}

 

X) \sqrt[3]{a \sqrt{a}} \cdot \sqrt{a \sqrt{a\sqrt[3]{a}}}:\sqrt[3]{a}

 


 

Svolgimento (in rosso le soluzioni):

 

I) 2\sqrt{2}+\sqrt{18}-\sqrt{8}+\sqrt{50}

 

Iniziamo con lo scomporre in fattori primi i vari radicandi e, laddove è possibile, portare fuori dal segno di radice.

 

18=2 \cdot 3^2 \ \to \ \sqrt{18}=\sqrt{2 \cdot 3^2} = 3\sqrt{2}

 

8=2^3 \ \to \ \sqrt{8}=\sqrt{2^2 \cdot 2} = 2\sqrt{2}

 

50=2 \cdot 5^2 \ \to \ \sqrt{50}=\sqrt{2 \cdot 5^2} = 5\sqrt{2}

 

Abbiamo quindi:

 

2\sqrt{2}+\sqrt{18}-\sqrt{8}+\sqrt{50}=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}-2\sqrt{2}+5\sqrt{2}=

 

(eseguendo la somma tra i radicali - sono tutti simili)

 

=(2+3-2+5)\sqrt{2}={\color{red}8\sqrt{2}}

 

II) \sqrt{\frac{9}{8}}-\sqrt{\frac{49}{18}}+\sqrt{\frac{81}{50}}

 

Proprio come nell'esercizio precedente, scomponiamo i vari radicando e, dov'è possibile, portiamo qualche fattore fuori dal segno di radice in modo tale da ricadere in radicali simili.

 

\sqrt{\frac{9}{8}}=\sqrt{\frac{3^2}{2^3}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}

 

\sqrt{\frac{49}{18}}=\sqrt{\frac{7^2}{2 \cdot 3^2}}=\frac{7}{3}\sqrt{\frac{1}{2}}

 

\sqrt{\frac{81}{50}}=\sqrt{\frac{3^4}{2 \cdot 5^2}}=\frac{9}{5}\sqrt{\frac{1}{2}}

 

Ci siamo così ricondotti ad avere:

 

\sqrt{\frac{9}{8}}-\sqrt{\frac{49}{18}}+\sqrt{\frac{81}{50}}=\frac{3}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}-\frac{7}{3}\sqrt{\frac{1}{2}}+\frac{9}{5}\sqrt{\frac{1}{2}}=

 

=\left(\frac{3}{2}-\frac{7}{3}+\frac{9}{5}\right) \sqrt{\frac{1}{2}}=

 

calcolando il denominatore comune otteniamo

 

\left(\frac{45-70+54}{30}\right) \sqrt{\frac{1}{2}}={\color{red}\frac{29}{30}\sqrt{\frac{1}{2}}}

 

III) Con un procedimento simile alle due espressioni precedenti si giunge a:

 

{\color{red}12\sqrt[3]{2}+\sqrt[4]{2}}

 

IV) \sqrt{\sqrt[3]{2}} \cdot \sqrt[4]{2}

 

Ricordando come si calcola la radice di radice abbiamo:

 

\sqrt{\sqrt[3]{2}}=\sqrt[2 \cdot 3]{2}=\sqrt[6]{2}

 

Ci riconduciamo così al prodotto di due radicali con indice diverso, ovvero:

 

\sqrt{\sqrt[3]{2}} \cdot \sqrt[4]{2}=\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[4]{2}

 

Portiamoli allo stesso indice calcolando il minimo comune multiplo tra 4 e 6:

 

\mbox{mcm}(4,6)=12

 

Allora

 

\sqrt[6]{2} = \sqrt[12]{2^2}

 

\sqrt[4]{2}=\sqrt[12]{2^3}

 

Possiamo così concludere che

 

\sqrt{\sqrt[3]{2}} \cdot \sqrt[4]{2}=\sqrt[6]{2} \cdot \sqrt[4]{2}=\sqrt[12]{2^2} \cdot \sqrt[12]{2^3} = \sqrt[12]{2^2 \cdot 2^3} = {\color{red}\sqrt[12]{2^5}}

 

V) Stesso discorso dell'espressione IV). Proponiamo quindi solo il risultato:

 

{\color{red}\sqrt[4]{2}}

 

D'ora in poi avremo a che fare con i prodotto notevoli - click per averli sotto mano. Wink

 

VI) \left( \sqrt{2\sqrt{5}}\right)^2+(2+\sqrt{5})^2+(3-\sqrt{5})^2+\left(\sqrt{7}-7\sqrt{2} \right) \left(\sqrt{7}+7\sqrt{2} \right)

 

Ovviamente:

 

\left( \sqrt{2\sqrt{5}}\right)^2 = 2\sqrt{5}

 

Sviluppiamo ora i due quadrati di binomio:

 

(2+\sqrt{5})^2 = 4 +4\sqrt{5} + 5 = 9 + 4\sqrt{5}

 

Allo stesso modo:

 

(3-\sqrt{5})^2=14-6\sqrt{5}

 

Mentre la somma per differenza ci dà:

 

\left(\sqrt{7}-7\sqrt{2} \right) \left(\sqrt{7}+7\sqrt{2} \right)=7-98=-91

 

Abbiamo quindi:

 

\left( \sqrt{2\sqrt{5}}\right)^2+(2+\sqrt{5})^2+(3-\sqrt{5})^2+\left(\sqrt{7}-7\sqrt{2} \right) \left(\sqrt{7}+7\sqrt{2} \right)=

 

=2\sqrt{5}+9+4\sqrt{5}+14-6\sqrt{5}-91 = {\color{red}-68}

 

VII) Basta eseguire dapprima il prodotto tra i radicali, così da avere la somma di due radicali aventi come radicando una somma per differenza. Sviluppando poi i conti:

 

\sqrt[4]{4 \sqrt{3}+4\sqrt{2}} \cdot \sqrt[4]{4 \sqrt{3}-4\sqrt{2}} + \sqrt[3]{4 \sqrt{6}+2\sqrt{8}} \cdot \sqrt[3]{4 \sqrt{6}-2\sqrt{8}}={\color{red}6}

 

VIII) {\color{red}46}

 

IX) {\color{red}2\sqrt{2}}

 

Prima di procedere dovresti trovare le condizioni di esistenza:  a \ge \frac{4}{5} Wink

 

X) Innanzitutto a deve essere un numero positivo. Chiarito questo, dopo aver opportunamente trasportato dentro il segno di radice:

 

\sqrt[3]{a \sqrt{a}} \cdot \sqrt{a \sqrt{a\sqrt[3]{a}}}:\sqrt[3]{a}={\color{red}a}

 


 

Se sei riuscito a svolgere tutti gli esercizi senza difficoltà sei pronto per affrontare la tua verifica sui radicali! Se hai incontrato qualche difficoltà continua ad esercitarti, rileggi la lezione correlata e le lezioni dei link che hai man mano trovato.Wink

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

 

Lezione correlata


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