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Esercizi codominio di funzioni

Il calcolo del codomino di una funzione è uno strumento per analizzare la suriettività di una funzione, infatti significa capire come è fatta l'immagine della funzione, e come vada ristretto il codominio per renderla suriettiva. A questo proposito: potete fare riferimento agli articoli sulla suriettività in generale e sulla suriettività di funzioni  f:\mathbb{R}\rightarrow\mathbb{R}.

 

NOTA IMPORTANTE...molte volte si dice impropriamente calcolare il codominio, come abbiamo fatto noi nel titolo della scheda, quando in realtà si intende calcolare l'immagine di una funzione. Ebbene sì: il titolo è un tranello per richiamare qui gli studenti che sono stati abituati a chiamare "codominio" ciò che in verità è l'immagine di una funzione.

 

C'è una sostanziale differenza tra codominio e immagine, spieghiamo tutto nell'articolo del precedente link.

 

Calcolare il codominio delle seguenti funzioni

 

O meglio: calcolare l'immagine delle seguenti funzioniWink

 

I) y=x^2+3x-5 [metodo grafico]

 

II) y=\sqrt{x^3+1} [metodo analitico]

 

III) y=|x|+x  [metodo analitico]

 

IV) y=\ln({x^3-2})  [metodo analitico]

 

V) y=\ln{(x^3-2)}+x  [metodo analitico]

 

VI) y=e^{x+5}  [metodo analitico]

 

VII) y=e^{\frac{x+1}{x}}

 


 

Soluzioni

 

I) L'immagine è l'intervallo \left(-\frac{29}{4},+\infty\right), è sufficiente ricordare che il vertice di una parabola y=ax^2+bx+c si calcola come \left(-\frac{b}{2a},-\frac{\Delta}{4a}\right)

 

II) [0,+\infty), infatti le condizioni per l'esistenza della radice (vedi la lezione sul dominio) impongono che sia x\geq -1, dunque il minimo valore che può assumere la funzione è per x=-1, dove y=0; per valori di x più grandi la funzione può solamente crescere, quindi raggiungerà+\infty

 

III) [0,+\infty), procedete per casi.

 

IV) \mathbb{R}

 

V) \mathbb{R}

 

VI) (0,+\infty)

 

VII) (0, e) \ \cup \ (e,+\infty), infatti invertendo la funzione si ottiene x=\frac{1}{\ln (y)-1}, il denominatore deve essere diverso da zero, da cui si ottiene y\neq e.

 


 

Se qualcosa non fosse chiaro apri una discussione nel Forum, e cerca le risposte ai tuoi dubbi con la barra di ricerca: abbiamo risolto migliaia di esercizi...

 

NB: c'è anche una scheda di esercizi risolti su codominio e immagine!

 

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Lezione correlata

 

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Tags: esercizi sul codominio di funzioni e sull'immagine - come si calcola il codominio di una funzione.

 

Esercizi codominio di funzioni