Esercizi massimi e minimi di funzioni

Nei seguenti esercizi sui massimi e minimi delle funzioni è richiesto di determinare i punti estremanti di alcune funzioni effettuando lo studio della derivata prima, e di specificare se sono relativi o assoluti.

 

Le lezioni cui fare riferimento sono le seguenti:

 

- come determinare i massimi e minimi con le derivate

 

- come distinguere tra massimi e minimi relativi e assoluti.

 

Il primo esercizio è svolto; in fondo potete consultare le soluzioni e accedere alle schede di esercizi risolti. ;)

 

Esercizio guidato sui massimi e minimi di funzioni con le derivate

 

0) y=\frac{x^{2}+1}{x}

 

Svolgimento: per non fare errori clamorosi, ricordiamoci che prima di tutto va calcolato il dominio della funzione. Qui abbiamo un denominatore, quindi richiediamo che sia diverso da zero:

 

x\neq 0

 

Dunque il dominio è Dom(f)=\left(-\infty,0\right)\cup\left(0,+\infty).

 

Calcoliamo la derivata prima:

 

f '(x)=\frac{2x\cdot x-\left(x^2 +1\right)}{x^2}=\frac{2x^2 -x^2-1}{x^2}=\frac{x^2-1}{x^2}

 

Imponiamo l'equazione

 

f '(x)=0

 

ossia

 

\frac{x^2-1}{x^2}=0

 

che ha soluzioni x=±1. Questi sono i candidati punti di massimo/minimo. Ora studiamo il segno della derivata prima, dunque risolviamo la disequazione

 

f '(x)\geq 0

 

ossia

 

\frac{x^2-1}{x^2}\geq 0

 

e studiando separatamente il segno di numeratore e denominatore, troviamo che

 

f '(x)\geq 0\mbox{ per }x\leq-1\mbox{ }\wedge\x\geq +1

 

Concludiamo così che x=-1 è un punto di massimo e x=+1 è un punto di minimo. Per vedere se sono anche assoluti, osserviamo che agli estremi del dominio di f abbiamo che

 

\lim_{x\to-\infty}{\frac{x^2+1}{x}}=-\infty\mbox{ e }\lim_{x\to+\infty}{\frac{x^2+1}{x}}=+\infty

 

quindi non possono essere assoluti.

 

Esercizi su massimi e minimi con le derivate

 

I) y=xe^{x}

 

II) y=\frac{x^2-3}{x+1}

 

III) y=x^2\ln{(x)}

 

IV) y=\frac{1}{x^4+2x^{3}}

 

V) y=\frac{\ln{\left(x^2\right)}}{x}

 

VI) y=\sqrt{\ln{(x)}-3}

 

VII) y=|x|x-x^2

 

VIII) y=\sqrt{\frac{4-x^2}{x^2+4x-5}}

 

IX) y=\left(3+\ln{(x)}\right)^2

 

X) y=\frac{\sin{(x)}+x}{1-\cos{(x)}}

 

 

Soluzioni

 

I) x=-1 punto di minimo assoluto; non ci sono massimi.

 

II) Nessun massimo, nessun minimo.

 

III) x=\frac{1}{\sqrt{e}} punto di minimo assoluto; non ci sono massimi.

 

IV) x=-\frac{3}{2} punto di massimo relativo; non ci sono minimi.

 

V) x=-e punto di minimo relativo; x=e punto di massimo relativo.

 

VI) Nessun massimo; punto di minimo assoluto in x=e^3.

 

VII) Non ci sono minimi, per x \ge 0 la funzione è costantemente uguale a zero.

 

VIII) Punto di minimo assoluto per x=\pm 2 (senza inversione di monotonia); non ci sono massimi.

 

IX)  x=e^{-3} punto di minimo assoluto; non ci sono massimi.

 

X) La funzione ha massimi nei punti della forma x=-(2k+1)\pi per ogni k intero naturale; ha minimi nei punti del tipo x=(2k+1)\pi per ogni k intero naturale.




 

Lo sapevate che c'è anche una scheda di esercizi risolti sui massimi e minimi con le derivate? Per il resto sappiate che abbiamo risolto migliaia e migliaia di problemi qui su YM e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;)

 

Buon lavoro!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione correlata


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