Esercizi retta tangente al grafico di una funzione

In questa scheda vi proponiamo alcuni esercizi sulla retta tangente al grafico di una funzione in un dato punto. Questo tipo di esercizi è molto richiesto in sede d'esame alla seconda prova di Matematica come pure negli esami universitari dei corsi base di Analisi.

 

Se avete già letto la lezione sulla retta tangente al grafico non avrete alcun problema nel risolverli. Gli esercizi qui presenti non sono graduati per difficoltà: sono troppo semplici! ;) Il primo esercizio è svolto; in fondo potete consultare le soluzioni e accedere alla scheda di esercizi svolti.

 

Esercizio guidato sulla retta tangente al grafico

 

0) Calcolare la retta tangente al grafico della funzione y=\ln{(6x-4)} nel punto di ascissa x=1 e nel punto di ascissa x=-1.

 

Svolgimento: intanto osserviamo che x=-1 non appartiene al dominio della funzione y=f(x), essendo

 

Dom(f)=\left(\frac{2}{3},+\infty\right)

 

Per quanto riguarda x=+1, la corrispondente ordinata mediante f è

 

f(1)=\ln{\left(6-4\right)}=\ln{(2)}

 

Il punto di tangenza è quindi (1,\ln(2)).

 

Calcoliamo la derivata della funzione, che in base al teorema di derivazione della funzione composta risulta essere

 

f'(x)=\frac{1}{6x-4}\cdot 6=\frac{6}{6x-4}=\frac{3}{3x-2}

 

Ci serve il coefficiente angolare della retta tangente. Nella lezione sul significato geometrico della derivata di una funzione in un punto abbiamo scoperto che m della retta tangente è proprio la derivata prima valutata nell'ascissa del punto di tangenza f'(x_0), quindi:

 

m=f'(1)=3

 

A questo punto consideriamo la generica equazione della retta

 

y=mx+q

 

imponiamo la condizione di passaggio per (1,\ln(2))

 

\ln{(2)}=m+q

 

e sostituiamo il coefficiente angolare, trovando così q:

 

q=ln{(2)}-3

 

La retta tangente è quindi y=3x+\ln{(2)}-3.

 

Esercizi sulla retta tangente al grafico in un punto 

 

I) y=\sqrt{x}+x nel punto di ascissa x=4.

 

II) y=x^2-16e^x nel punto di ascissa x=0.

 

III) y=\sin{(x)}\cos{(x)} nel punto di ascissa x=\frac{\pi}{4}.

 

IV) y=\frac{x+3}{x-5} nei punti di ascissa x=1,\mbox{ }x=5.

 

V) y=\arctan{(3x+1)} nel punto di ascissa x=0.

 

VI) y=x^2+\sqrt{5+4e^{-x}} nel punto di ascissa x=0.

 

VII) y=\frac{3x^2+\sqrt{4x}}{2-x^2} nel punto di ascissa x=1.

 

VIII) y=\frac{\sqrt{\cos{(\pi x)}+2}}{4x^2} nel punto di ascissa \frac{1}{2}.

 

IX) y=\ln{\left(\frac{1+x^3}{1+x^2}\right)} nel punto di ascissa x=0.

 

X) y=4x+3e^{2x}+\ln{(x)} nei punti di ascissa x=0,\mbox{ }x=1.

 

 

Soluzioni


I) y=\frac{5}{4}x+1

 

II) y=-16x-16

 

III) y=\frac{1}{2}

 

IV) \mbox{Per} \ x=1: \ y=-\frac{1}{2}x-\frac{1}{2}; x=5 non appartiene al dominio della funzione!

 

V) y=\frac{3}{2}x+\frac{\pi}{4}

 

VI) y=-\frac{2}{3}x+3

 

VII) y=17x-12

 

VIII) y=-\frac{\pi+16}{2\sqrt{2}}x+\frac{\pi+24}{4\sqrt{2}}

 

IX) y=0

 

X) Per x=0 non esiste; per x=1 è y=(5+6e^2)x-1-3e^2.

 

 


 

Che ne dite di dare uno sguardo agli esercizi risolti sulla retta tangente al grafico?

 

Non perdetevi la scheda di esercizi svolti, e ricordate che qui su YM c'è tutto quello che vi può servire: non dovete fare altro che usare la barra di ricerca interna, avete a disposizione migliaia di esercizi risolti nel dettaglio! ;)

 

 

Buon lavoro!

Fulvio Sbranchella (Agente Ω)

 

Lezione correlata


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