Esercizi svolti rapporto incrementale

Prova a risolvere i seguenti esercizi sul calcolo del rapporto incrementale delle funzioni proposte nei punti indicati. Se avete già letto la lezione sul rapporto incrementale non dovreste avere problemi nel risolvere gli esercizi di questa scheda - si tratta solamente di applicare la definizione.

 

Nonostante ciò non vogliamo farci mancare niente: gli esercizi sul rapporto incrementale sono tutti svolti e sono corredati da svolgimenti dettagliati. Le soluzioni sono in fondo.

 

Esercizio guidato sul calcolo del rapporto incrementale

 

0) y=\frac{x^2+2}{x-3} nel punto x_0=2, con incremento h.

 

Svolgimento: calcoliamo il rapporto incrementale ricorrendo semplicemente alla definizione, dunque otteniamo

 

\\ \frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f(x_{0}+h)-f(x_{0})}{h}=\frac{\frac{(2+h)^2+2}{(2+h)-3}-\frac{(2)^2+2}{(2)-3}}{h}=\\ \\ \\ =\frac{\frac{4+4h+h^2+2}{h-1}+6}{h}=\frac{1}{h}\left[\frac{6+4h+h^2+6(h-1)}{h-1}\right]=\frac{1}{h}\left[\frac{h^2+10h}{h-1}\right]=\\ \\ \\ =\frac{1}{h}\frac{h(h+10)}{h-1}=\frac{h+10}{h-1}

 

Dunque il rapporto incrementale in x_0=2 con incremento h per la funzione considerata è dato da

 

\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{h+10}{h-1}

 

 

Suggerimento generale per gli esercizi sul calcolo del rapporto incrementale

 

L'unica difficoltà in questo genere di esercizi, per chi ha poca esperienza, riguarda la valutazione f(x_0+h). Per determinarla, è sufficiente sostituire nell'espressione y=f(x) il termine x_0+h al posto della x e fare un uso prepotente di parentesi. Se scriverete (x_0+h) al posto di x e non potrete sbagliare. ;)

 

Esercizi sul rapporto incrementale

 

I) y=\frac{2}{3x+2} nel punto x_0=-1 con incremento h.

 

II) y=\frac{7x+3x^2+2}{x-4} nel punto x_0=3 con incremento h.

 

III) y=\sqrt{6x+1} nel punto x_0=1 con incremento h.

 

IV) f(x)=1+e^{\frac{1}{x}} nel punto x_0=1 con incremento h.

 

V) y=\frac{2}{\ln{(1+x)}} nel punto x_0=1 con incremento h.

 

VI) y=\sin{(2x+3)} nel punto x_0=\pi con incremento h.

 

(Suggerimento: usare la formula di addizione degli angoli)

 

VII) y=4^{\frac{1}{2-x}} nel punto x_0=1 con incremento \frac{h}{2}.

 

VIII) y=\frac{1}{x^2} nel punto x_0=-2 con incremento \frac{3}{4}h.

 

IX) y=\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} nel punto x_0=2 con incremento h.

 

X) f(x)=2x-x^3 nel punto x_0=1 e incremento h=1.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Esercizio sul rapporto incrementale di una funzione razionale

 

II) Rapporto incrementale di una funzione fratta

 

III) Rapporto incrementale di una funzione irrazionale

 

IV) Esercizio sul calcolo del rapporto incrementale di una funzione in un punto

 

V) Rapporto incrementale di una funzione logaritmica

 

VI) Esercizio di calcolo del rapporto incrementale di una funzione trigonometrica

 

VII) Rapporto incrementale con incremento h/2

 

VIII) Rapporto incrementale con incremento 3h/4

 

IX) Rapporto incrementale di una funzione con radice

 

X) Calcolare il rapporto incrementale con incremento fissato

 

 


 

 

In caso di dubbi, o per qualsiasi necessità, vi suggeriamo come sempre di usare la barra di ricerca interna: qui su YM avete a disposizione migliaia di esercizi svolti e spiegati nel dettaglio. ;)

 

 

Buon lavoro!

Fulvio Sbranchella (a.k.a. Agente Ω)

 

Lezione correlata


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