Esercizi risolti sulla derivata della funzione inversa

Qui di seguito potete consultare alcuni esercizi svolti sulla derivata della funzione inversa, in cui è richiesta l'applicazione dell'omonimo teorema di derivazione: tutti gli esercizi sono risolti passaggio per passaggio e corredati dalle spiegazioni necessarie per capire come procedere e per arrivare alla soluzione.

 

Che altro aggiungere, se non augurarvi un buon divertimento? :) La guida di riferimento la trovate qui: derivata della funzione inversa.

 

Alcuni esercizi risolti sul teorema di derivazione della funzione inversa

 

Attenzione a non cadere nella trappola e a non fraintendere la traccia! Gli esercizi che vengono proposti in sede di verifica/esame presentano sempre funzioni per le quali non è possibile calcolare la funzione inversa esplicitamente, per poi derivarla. In pratica si è quasi sempre costretti ad applicare il teorema per la derivata dell'inversa: non cadete nel tranello!

 

I) Stabilire se la funzione

 

f:[1,2] \to \left[e,\frac{e^2}{2}\right]\ \ \ ;\ \ \ f(x)= \frac{e^x}{x}

 

è invertibile e calcolare (f^{-1})'\left( \frac{2e^{3/2}}{3}\right).

 

II) f(x)=e^{x+1}-e^{2x-1}

 

Stabilire se la funzione f(x) è invertibile sull'intervallo \left[{\frac{3}{2},3\right] e in caso affermativo, detta g la funzione inversa, calcolare g'(0).

 

III) f(x)= -2\pi x -1 + e^{-x-1}

 

Calcolare la derivata della funzione inversa in y=2\pi.

 

IV) f\left(x\right)=1-e^{x^{2}}

 

Calcolare la derivata della funzione inversa in y_{0}=1-e.

 

V) Dopo aver verificato che la funzione

 

f(x)=\frac{e^{x^{2}}}{x+1}

 

è invertibile nell'intervallo \left(-\frac{1}{2},\frac{1}{4}\right), calcolare la derivata della funzione inversa (f^{-1})^{'}(1) nel punto x=1.

 

VI) Calcolare la derivata della funzione inversa nel punto y=128 per la funzione

 

f(x)=2x\sqrt{x\sqrt{x}}\ \ \ \ \ (x>0)

 

VII) Ricavare la derivata della funzione arcoseno applicando il teorema di derivazione della funzione inversa

 

f(x)=\arcsin(x)\ \ \to\ \ f'(x)=?

 

Tenere presente che

 

 \cos(\arcsin(x))=\sqrt{1-x^2}

 

Il risultato ottenuto è corretto (cfr: derivata dell'arcoseno)?

 

 

Svolgimento e soluzioni

 

I) Esercizio: dire se la funzione è invertibile e calcolare la derivata dell'inversa in un punto

 

II) Esercizio su invertibilità di una funzione su un intervallo e derivazione della funzione inversa

 

III) Esercizio sul teorema di derivazione della funzione inversa in un punto

 

IV) Derivata della funzione inversa con il teorema e per calcolo diretto

 

V) Esercizio su funzione invertibile e derivata della funzione inversa

 

VI) Esercizio sul calcolo della derivata della funzione inversa, funzione con due radici

 

VII) Esercizio sulla derivata del'arcoseno come derivata della funzione inversa

 

 

Lezione correlata


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