Esercizi risolti su massimi e minimi con le derivate

Oltre agli esercizi proposti sui massimi e minimi con le derivate, abbiamo ritenuto opportuno pubblicare una selezione di esercizi risolti sullo studio di massimi e minimi con la derivata prima.

 

I seguenti esercizi presentano diversi livelli di difficoltà ma in ogni caso sono accompagnati da svolgimenti dettagliati.

 

Nel caso voleste consultarne altri, sappiate che c'è anche una scheda di esercizi sullo studio della monotonia con le derivate. ;)

 

Alcuni esercizi svolti su massimi e minimi con la derivata prima

 

La consegna dei seguenti esercizi, a meno che non sia diversamente indicato, richiede di determinare i massimi e i minimi relativi ed assoluti delle rispettive funzioni sul proprio dominio.

 

I) f(x)=x^3+2x

 

II) f(x)=x^4e^{-2x}

 

III) f(x)=x\ln(x)

 

IV) y=xe^{-x}

 

V) f(x)=-3x\sqrt{8-x^2}

 

VI) f(x)=x\sqrt{x-1}

 

VII) f(x)= x^4-2x^2+1 sull'intervallo [-2,1]

 

VIII) f(x)=\sin(x)-\cos(x)

 

IX) Stabilire se la seguente funzione ammette un massimo assoluto

 

f(x)=\frac{\log{(x)}-1}{x^2}

 

X) f(x)=2x-\arcsin(x)

 

XI) f(x)=5\arctan[\ln(x)]-4\ln(x)

 

XII) Determinare i valori del parametro a per cui la seguente funzione non presenta massimi e né minimi

 

f(x)=x^3+ax^2+3x+4a

 

XIII) Assegnata la funzione

 

f(x)=a\log^2{(x)}+b\log{(x)}

 

si determini per quali valori di a,b la f(x) ha un minimo relativo nel punto \left(\sqrt{e},-\frac{1}{4}\right)

 

XIV) Considerata la funzione

 

f(x)=ax^3+2ax^2-3x

 

dove a è un parametro reale e non nullo, determinare i valori di a per cui essa ha un massimo e un minimo relativi e quelli per cui non ha punti estremanti.

 

XV) Determinare i valori del parametro a per cui la seguente funzione non presenta massimi e né minimi

 

f(x)=(x^2-ax+2)e^{-x}

 

 

Esercizi particolari che generano diversi dubbi

 

XVI) Il seguente esercizio fornisce un approfondimento teorico: ha senso studiare i massimi e i minimi nei punti che non appartengono al dominio della derivata?

 

f(x)=|x-1|^{\frac{2}{3}}(x-2)^2

 

XVII) Qui invece l'esercizio riguarda un caso particolare: come comportarsi quando lo studio dei massimi e dei minimi deve essere effettuato su un intervallo chiuso e limitato?

 

f(x)=\log_e(x^2+1) sull'intervallo [-1,2]

 

XVIII) Come comportarsi quando bisogna studiare i massimi e i minimi di una funzione su un intervallo limitato né aperto né chiuso?

 

Determinare i massimi e i minimi della funzione

 

f(x)=13\ln(x)

 

sull'intervallo (1,13].

 

XIX) Attenzione: ora torniamo ad un esercizio standard che però richiede di saper risolvere le disequazioni trascendenti, ossia le disequazioni che non possono essere risolte algebricamente.

 

f(x) = \frac{\ln(x)}{\ln(x - 2)}

 

XX) Ancora un esercizio che coinvolge le disequazioni trascendenti, ma ben più impegnativo del precedente.

 

f(x)=\tan(x^2+1)-|x|

 

XXI) Un altro con le disequazioni trascendenti e sulla ricerca dei punti di massimo/minimo approssimati

 

f(x)=x\sin(x) sull'intervallo [-4\pi,+4\pi]

 

 

I seguenti esercizi forniscono degli esempi di esercizi in cui lo studio dei massimi e dei minimi avviene con metodi che non prevedono lo studio della derivata prima. A titolo di approfondimento. ;)

 

XXII) A(x)=\sqrt{5-2\sin\left(\frac{x}{2}\right)} B(x)=\frac{5}{2+3\cos^2(x-\pi)}

 

XXIII) f(x) = \begin{cases} x^2 - 4x + 4 \mbox{ se } x\geq 2\\ 3\mbox{ se } 0\leq x< 2 \\ 2x+4 \mbox{ se } x<0\end{cases}

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Esercizio punti estremali di una semplice funzione polinomiale

 

II) Esercizio sul calcolo e sullo studio dei punti estremanti di una funzione prodotto

 

III) Esercizio sullo studio dei punti di max e min di una funzione prodotto con la derivata prima

 

IV) Massimi e minimi della funzione xe^(-x)

 

V) Esercizio su studio e classificazione dei punti estremanti di una funzione

 

VI) Esercizio su massimi e minimi di una funzione con radice

 

VII) Esercizio sui massimi e minimi assoluti di una funzione su un intervallo

 

VIII) Esercizio sui massimi e sui minimi di una funzione goniometrica

 

IX) Esercizio sul massimo assoluto di una funzione

 

X) Calcolare e studiare massimi e minimi di una funzione con arcoseno

 

XI) Massimi e minimi di una funzione con arcotangente e logaritmo

 

XII) Esercizio: valori di un parametro per cui una funzione parametrica non ha punti estremanti

 

XIII) Esercizio: funzione con due parametri tale da avere un minimo in un punto

 

XIV) Esercizio su massimi e minimi di una funzione al variare di un parametro

 

XV) Calcolare massimi e minimi di una funzione con parametro

 

XVI) Punti estremanti non appartenenti al dominio della derivata?

 

XVII) Massimi e minimi di una funzione su un intervallo chiuso e limitato

 

XVIII) Massimi e minimi di una funzione su un intervallo né aperto né chiuso

 

XIX) Esercizio su massimi e minimi con disequazione trascendente

 

XX) Esercizio impegnativo su massimi e minimi con disequazione trascendente

 

XXI) Massimi e minimi approssimati della funzione xsin(x)

 

XXII) [Extra] Massimi e minimi di certe funzioni trigonometriche senza le derivate

 

XXIII) [Extra] Trovare massimi e minimi di una funzione definita a tratti

 

 

Lezione correlata


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