Esercizi risolti su crescita e decrescita con le derivate

Sapete risolvere gli esercizi sullo studio della monotonia delle funzioni con la derivata prima? No? Ok, nessun problema, perché qui sotto vi proponiamo una carrellata di esercizi completamente svolti. ;)

 

Qui, oltre alla lezione in cui spieghiamo la nozione di funzione crescente e funzione decrescente, è necessario conoscere la teoria sulle derivate che abbiamo spiegato a partire dalla lezione su massimi e minimi relativi e assoluti.

 

Nella malaugurata eventualità per cui gli esercizi non bastassero :D vi suggeriamo di leggere la scheda di esercizi svolti su massimi e minimi con le derivate!

 

Alcuni esercizi svolti sulla monotonia delle funzioni con le derivate

 

La richiesta degli esercizi che seguono, a meno che non sia diversamente indicato, prevede di studiare la monotonia delle rispettive funzioni ossia di stabilire su quali sottoinsiemi del proprio dominio esse crescono e decrescono.

 

Prima di procedere, alcuni approfondimenti utili relativi a dubbi tipici ;)

 

[Spiegazione] Ci vuole il maggiore o il maggiore uguale per lo studio della monotonia?

 

[Spiegazione] Sulla relazione tra monotonia e segno della derivata prima

 

[Spiegazione] Test di monotonia e test di monotonia stretta

 

Ci siamo? È il momento di passare agli esercizi ;)

 

I) f(x)= \frac{x^2-2x}{(x-1)^2}

 

II) f(x)=e^{\sqrt{x+1}}

 

III) f(x)=\frac{x^2+4}{x^2-4}

 

IV) f(x)= \frac{1}{x\ln^2(x)}

 

V) f(x)=x^{\frac{2}{3}}(x-5)

 

VI) f(x)=\frac{x^2}{(x^2+1)^{\frac{1}{2}}}

 

VII) f(x)=\frac{6}{\sqrt{1-5x^2}}

 

VIII) f(x)=e^{-x}-e^{3x}

 

IX) Studiare la monotonia della seguente funzione al variare del parametro reale k

 

f(x)=\ln(1+2x)+kx+1

 

X) Studiare la monotonia della seguente funzione al variare del parametro k\in\mathbb{R}

 

f(x)= \arcsin(x)+kx

 

XI) f(x)=\frac{xe^{kx}}{x-1}

 

XII) f(x)= \begin{cases}|x+2|(x-1)^2&\mbox{ se }x\le 1\\ (x-1)^2 &\mbox{ se }x>1\end{cases}

 

XIII) EXTRA Studiare crescita e decrescita della seguente funzione senza ricorrere alla derivata

 

f(x)=8-x^2

 

 

Soluzioni e svolgimenti

 

I) Esercizio sullo studio della monotonia di una funzione fratta

 

II) Studio della monotonia di una funzione esponenziale con radice

 

III) Determinare gli intervalli di monotonia di una funzione fratta

 

IV) Esercizio calcolo e studio del segno della derivata prima di una funzione fratta con logaritmo

 

V) e VI) Due esercizi sullo studio di crescita e decrescita con le derivate

 

VII) Monotonia di una funzione fratta con radice a denominatore

 

VIII) Studiare crescita e decrescita di una funzione con differenza di esponenziali

 

IX) Esercizio sulla monotonia di una funzione con parametro

 

X) Ancora sullo studio di crescita e decrescita di una funzione con parametro

 

XI) Esercizio sulla monotonia di una funzione con parametro

 

XII) Esercizio sulla monotonia di una funzione definita a tratti con modulo

 

XIII) [Extra] Crescita e decrescita di una funzione polinomiale di secondo grado senza le derivate

 

 

Lezione correlata


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