Esercizi risolti sulla definizione di derivata

Il primo passo per prendere confidenza con la nozione di derivata consiste nel digerirne la definizione. Qui di seguito trovate un po' di esercizi svolti sulla definizione di derivata: in pratica si tratta di calcolare le derivate con la definizione, cioè con il limite del rapporto incrementale.

 

In caso di dubbi teorici sulla definizione di derivata vi rimandiamo alla lezione correlata.

 

Alcuni esercizi svolti sulla definizione di derivata

 

Prima di tutto uno spunto utile:

 

[Spiegazione] Quale formula per la derivata come limite del rapporto incrementale?

 

Ora sotto con gli esercizi sulla definizione di derivata: a meno che non sia diversamente specificato, calcolare le derivate delle funzioni che seguono nei punti indicati mediante il limite del rapporto incrementale.

 

I) y=3x^2-2x nel punto x_0=1.

 

II) Dedurre la funzione ed il punto in cui se ne vuole calcolare la derivata mediante la definizione, conoscendo il limite

 

\lim_{h\to 0}\frac{8(2+h)^3-8(2)^3}{h}

 

III) f(x)=\frac{1}{x e^x} nel punto x_0=3.

 

IV) f(x)= |x^2 - 3x| nel punto x_0=3.

 

V) f(x) = \sqrt{x+2} nel generico punto di ascissa x> -2.

 

VI) f(x)=\frac{1}{\sqrt{x}} nel punto x=5.

 

VII) f(x)=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}} nel punto x=2.

 

VIII) f(x)=\sqrt{\frac{|x|^3+1}{x^2+1}} nel punto x=0.

 

IX) Sia f(x)=x\log(x)\mbox{ per } x >0. Dopo aver prolungato per continuità f(x) anche in x=0, calcolare la sua derivata destra in x=0 utilizzando la definizione di derivata.

 

 

Soluzioni e svolgimenti

 

I) Calcolare la derivata di una funzione polinomiale in un punto con la definizione

 

II) Dedurre una funzione dal limite del rapporto incrementale e calcolarlo

 

III) Calcolo della derivata di una funzione fratta in un punto con la definizione

 

IV) Esercizio sulla derivata sinistra e destra con la definizione, funzione in modulo

 

V) Esercizio calcolo derivata di una funzione con radice in un generico punto

 

VI) Esercizio sulla derivata mediante la definizione per una funzione fratta con radice

 

VII) Ancora sulla derivata di una funzione fratta con radice mediante il limite del rapporto incrementale

 

VIII) Derivata di una funzione con radice e valore assoluto, con il limite del rapporto incrementale

 

IX) Esercizio sulla derivata destra di una funzione prolungata per continuità

 

 

Lezione correlata


Tags: scheda di esercizi svolti sul calcolo delle derivate con la definizione.

 

pba1