Esercizi risolti sulle applicazioni del polinomio di Taylor

Lo scopo di questa scheda, dedicata agli esercizi sull'applicazione del polinomio di Taylor e degli sviluppi di Taylor, consiste nel mostrare quali e quante siano le applicazioni degli sviluppi in serie di Taylor, perlomeno le più ricorrenti negli esercizi da esame.

 

Come avremo modo di vedere nel prosieguo delle lezioni ci sono tanti altri utilizzi degli sviluppi di Taylor, ma non vogliamo bruciare le tappe. ;)

 

Se siete finiti qui per caso sappiate che ci sono altre due schede di esercizi svolti di particolare importanza:

 

esercizi sul calcolo degli sviluppi di Taylor

 

- esercizi sui limiti con Taylor

 

Alcuni esercizi svolti sulle applicazioni del polinomio di Taylor

 

I) Sapendo che lo sviluppo notevole del logaritmo, al terzo ordine e centrato in x_0=0, è

 

\ln{(1+x)}=x-\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{3}+o(x^3)

 

scrivere lo sviluppo di Taylor-Mc Laurin y=\ln(1-x) al terzo ordine.

 

II) Calcolare la derivata quarta g^{(4)}(0) della funzione g(x) sapendo che essa ammette come sviluppo di Taylor-Mc Laurin al quarto ordine

 

g(x)=-x^{3}+\frac{1}{2}x^{4}+ o(x^{4})

 

III) Determinare, a partire dallo sviluppo di Taylor, l'equazione della retta tangente al grafico della seguente funzione nel punto x_0=e

 

f(x)= e + 2(x-e) + 3(x-e)^{3}+ o((x-e)^{3})

 

IV) Si consideri la funzione

 

f(x)=(1+\sin(x))^{1+x}

 

definita in un intorno opportuno di x_0=0. Calcolare il polinomio di Taylor al secondo ordine con centro in y_0=1=f(0) della funzione inversa f^{-1}(y).

 

V) Stabilire, usando gli sviluppi di Taylor, se x=0 è un punto di massimo o minimo relativo per la funzione

 

f(x)= \frac{e^{-x^2}}{\log(1+x^2)-1}

 

VI) Stabilire, usando gli sviluppi di Taylor, se x_0=0 è un punto stazionario per la funzione f(x)=\sin(x^2) e studiarne la natura.

 

VII) Stabilire se \frac{1}{2}<\ln(2)<\frac{5}{6} usando gli sviluppi di Taylor.

 

VIII) Si consideri la funzione f(x)=\sqrt{x}

 

(a) Approssimare il valore della funzione nel punto x=0,9 utilizzando la formula di Taylor al primo ordine.

 

(b) Approssimare il valore della funzione nel punto x=0,9 utilizzando la formula di Taylor al secondo ordine.

 

IX) Data f(x)= (x-1)^2 + 1:

 

- approssimare il valore della funzione nel punto x=\frac{1}{5} utilizzando la formula di Taylor al primo ordine in x_0=1.

 

- Approssimare il valore della funzione nel punto x=\frac{1}{5} utilizzando la formula di Taylor al secondo ordine in x_0=1.

 

X) Utilizzando il polinomio di McLaurin per la funzione f(x)=\sin(x) calcolare \sin\left(\frac{\pi}{6}\right) con un errore minore di \frac{1}{1000}, determinare quindi una stima dell'errore.

 

XI) [Importante!] Sia f(x)=x^6+6x^5+3x+1 e sia T_8(x) il polinomio di Taylor di ordine 8 di f in x_0=0. Allora T_8(1) vale:

 

a)\ -1;\ \ b)\ 11;\ \ c)\ 0;\ \ d)\ \pi

 

XII) I valori del parametro reale k affinché la funzione

 

f(x)=4\ln(1-x)+kxe^x

 

abbia come polinomio di Taylor-Mac Laurin del secondo ordine p_2-x+x^2 è:

 

K=1\ \ ;\ \ K=3\ \ ;\ \ K=2\ \ ;\ \ K=-2

 

o nessuna delle precedenti?

 

XIII) Calcolare lo sviluppo di Taylor Mc-Laurin della funzione f(x)=x^3\sin(x^2) ad un ordine opportuno ed usarlo per determinare la derivata f^{(13)}(0).

 

XIV) Determinare l'ordine di infinitesimo e la parte principale della seguente funzione, per x\to 0, usando gli sviluppi di Taylor

 

f(x)=e^{\cos(x)}-e^\sqrt{x^3+1}

 

XV) Utilizzando gli sviluppi di Taylor calcolare l'ordine di infinitesimo di

 

\\ f(x)=\sin(x)-x\cos\left(\frac{x}{\sqrt{3}}\right)\ \ \mbox{ per } x\to0\\ \\ \\ f(x)=e^{\frac{1}{x}}-e^{\sin\left(\frac{1}{x}\right)}\mbox{ per }x\to \infty

 

XVI) Determinare nel modo più preciso possibile il comportamento asintotico della seguente espressione all'infinito (sviluppo asintotico per x\to+\infty) usando Taylor

 

f(x)=\sqrt{x^{4}+2x^{3}}+o(1)

 

XVII) Calcolare lo sviluppo asintotico di

 

f(x)=\sqrt{x^6+x^4-2x+o(1)}

 

per x \to +\infty ed al massimo ordine consentito dall'imprecisione presente nell'espressione.

 

XVIII) Sviluppare la funzione

 

f(x) = \frac{\sqrt{1+x^{2}}}{1+x}

 

per x tendente a +infinito con precisione O\left(\frac{1}{x^{4}}\right).

 

XIX) Determinare lo sviluppo asintotico per x\to\infty della seguente espressione al massimo ordine consentito dall'imprecisione presente nella stessa:

 

f(x)=\sqrt{x^6+x^5-2x^3+O(x^2)}

 

XX) Determinare lo sviluppo asintotico per x\to 0 della funzione

 

f(x)=\sqrt{1+2x-x^2+2x^3+O(x^4)}

 

 

Soluzioni e svolgimenti

 

I) Come cambiare il segno negli sviluppi di Taylor

 

II) Valutare la derivata dal polinomio di Taylor

 

III) Esercizio su retta tangente al grafico e sviluppo di Taylor

 

IV) Sviluppo di Taylor della funzione inversa

 

V) Sviluppi di Taylor per stabilire se un punto è di massimo o di minimo

 

VI) Esercizio sull'uso degli sviluppi di Taylor per lo studio dei punti stazionari

 

VII) Approssimare il logaritmo di 2 con Taylor

 

VIII) Approssimare la radice quadrata con gli sviluppi di Taylor

 

IX) Approssimare una funzione in un punto con Taylor al primo e al secondo ordine

 

X) Approssimare una funzione con Mc Laurin a meno di un errore

 

XI) Esercizio sullo sviluppo in serie di Taylor di un polinomio

 

XII) Sviluppo di Taylor - Mc Laurin e funzione con parametro

 

XIII) Calcolare la derivata n-esima dallo sviluppo di Taylor

 

XIV) Determinare l'ordine di infinitesimo e la parte principale con Taylor

 

XV) Ricavare l'ordine di infinitesimo dallo sviluppo di Taylor

 

XVI) Comportamento all'infinito di una funzione con gli sviluppi di Taylor

 

XVII) Sviluppo asintotico al massimo ordine consentito da un o-piccolo

 

XVIII) Sviluppo asintotico di una funzione all'infinito con precisione data da un O-grande

 

XIX) Sviluppo asintotico al massimo ordine consentito da un O-grande

 

XX) Sviluppo asintotico con O-grande

 

 

Lezione correlata


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