Esercizi risolti sviluppi di Taylor

Saper calcolare gli sviluppi di Taylor è fondamentale per la sopravvivenza universitaria e, soprattutto, per avere quanto meno una discreta conoscenza dell'Analisi Matematica. A seguire ecco un bel po' di esercizi risolti sugli sviluppi di Taylor; la richiesta è, a meno di casi particolari, una ed una sola: calcolare lo sviluppo in serie. Le tipologie di funzioni trattate sono tra le più svariate. ;)

 

Attenzione: ci sono altre due schede che potrebbero interessarvi:

 

- esercizi sulle applicazioni del polinomio di Taylor

 

- esercizi sui limiti con Taylor

 

Alcuni esercizi svolti sugli sviluppi in serie di Taylor

 

A meno che non sia diversamente indicato, calcolare lo sviluppo di Taylor per ciascuna delle seguenti funzioni nei rispettivi centri, fino all'ordine indicato e con il resto specificato. Si tenga inoltre presente che:

 

- se si parla di sviluppo di Taylor senza specificare il resto, ci si riferisce ad un polinomio con infiniti termini oppure ad un polinomio con un numero finiti di termini ed un resto. In quest'ultimo caso bisogna specificare l'ordine di arresto.

 

- con polinomio di Taylor si intende un polinomio finito senza resto. In questo caso bisogna specificare l'ordine di arresto.

 

- con sviluppo di Taylor-Mc Laurin (o sviluppo di Mc Laurin) si intende semplicemente uno sviluppo di Taylor con centro x_0=0.

 

- con polinomio di Taylor-Mc Laurin (o polinomio di Mc Laurin) si intende un polinomio di Taylor con centro x_0=0.

 

Negli esercizi, ove possibile, conviene ricorrere alla tabella degli sviluppi di Taylor fondamentali. Nel caso non li ricordaste niente paura: ci vuole poco per ricavarli a parte. ;)

 

 

I) Sviluppo di Taylor-Mc Laurin per f(x)=\sin(x).

 

II) Polinomio di Taylor per f(x)=e^x\mbox{ in }x_0=1 al terzo ordine.

 

III) Polinomio di Taylor per f(x)=\log(x+3)\mbox{ in }x_0=1 al terzo ordine.

 

IV) *Sviluppo di Taylor-Mc Laurin della funzione f(x)=\frac{1}{1+x} al secondo ordine con resto di Peano.

 

V) *Sviluppo di Taylor-Mc Laurin della funzione f(x)=\frac{1}{1-2x} al secondo ordine con resto di Peano.

 

VI) *Sviluppo di Taylor del polinomio f(x)=x^3-x con centro x_0=2.

 

VII) Sviluppo di Taylor-Mc Laurin per la funzione f(x)=\tan(x) al terzo ordine con resto di Peano.

 

(Questo esercizio può essere risolto sia con il calcolo esplicito che con il calcolo mediante le regole algebriche e di composizione)

 

VIII) Sviluppo di Taylor-Mc Laurin per la funzione f(x)=\cos(\ln(1+x)) al quarto ordine con resto di Peano.

 

IX) Polinomio di Taylor-Mc Laurin per la funzione f(x)=\sqrt{1+x} al terzo ordine.

 

X) Sviluppo di Taylor-Mc Laurin per la funzione f(x)=\ln\left(1+x^2-\frac{x^4}{6}\right) al sesto ordine con resto di Peano.

 

XI) Sviluppo di Taylor-Mc Laurin per la funzione f(x)=x\ln(1-4x) al secondo ordine con resto di Peano.

 

XII) Sviluppo di Taylor-Mac Laurin per la funzione f(x)=(x+2)\cos(1+x^3) al quarto ordine con resto di Peano. 

 

XIII) Sviluppo di Taylor-Mc Laurin per la funzione f(x)=\sin(\sin(x)) al terzo ordine con resto di Peano.

 

XIV) Sviluppo di Taylor-Mc Laurin per la funzione f(x)=e^{\sin(x)} al terzo ordine con resto di Peano.

 

XV) *Sviluppo di Taylor-Mc Laurin per la funzione y=\sin(e^{2x}-1)+\cos(3x) al quarto ordine con resto di Peano.

 

XVI) *Sviluppo di Taylor-Mc Laurin della funzione y=x\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right)+\cos\left(\frac{\pi}{3}x\right) al terzo ordine con resto di Peano.

 

XVII) *Polinomio di Taylor della funzione f(x)=\frac{x}{\arctan(x)} centrato in x_0=1 al terzo ordine.

 

XVIII) Sviluppo di Taylor-Mc Laurin per la funzione f(x)= \frac{\log(1+\sin(x))}{x+1} al terzo ordine con resto di Peano.

 

XIX) Sviluppo di Taylor-Mc Laurin per la funzione f(x)=\frac{2x - 8}{x^{2}-8x +12}.

 

XX) Sviluppo di Taylor per la funzione f(x)=\frac{1}{1-x} con centro x_0.

 

XXI) *Sviluppo di Taylor-Mc Laurin della funzione f(x)=\sqrt{x^8+1} al ventesimo ordine.

 

XXII) *Sia f(x) definita in un intorno di x=e, derivabile due volte nel punto x=e e tale che f(e)=-1,\ f'(e)=-2,\ f''(e)=2. Scrivere la formula di Taylor al secondo ordine in x_0=1 di h(x)=f(xe^x).

 

 

Svolgimento e soluzioni

 

I) Calcolare lo sviluppo di Taylor del seno

 

II) Esempio di calcolo del polinomio di Taylor per la funzione esponenziale

 

III) Esercizio sullo sviluppo di Taylor di una funzione logaritmica

 

IV) Esercizio sullo sviluppo di Taylor della funzione 1/(1+x)

 

V) Sviluppo di Taylor di una funzione razionale

 

VI) Sviluppo di Taylor di un polinomio

 

VII) Esercizio sulla serie di Taylor della tangente. In realtà c'è un metodo ben più elegante per ricavare lo sviluppo di Taylor della tangente, del tutto facoltativo e che riportiamo per chi volesse approfondire: Un altro modo per sviluppare la tangente in serie di Taylor.

 

VIII) Esercizio: sviluppo in serie di Taylor di una funzione composta al quarto ordine centrato in x=0

 

IX) Serie di Taylor per una funzione con radice

 

X) Sviluppo in serie di Taylor di una funzione composta con logaritmo e trinomio

 

XI) Sviluppo di Taylor di un prodotto sia con la definizione sia con gli sviluppi notevoli

 

XII) Sviluppo di Taylor di una funzione prodotto con coseno

 

XIII) Sviluppo di Taylor del seno del seno di x

 

XIV) Esercizio sul polinomio di Taylor dell'esponenziale con seno

 

XV) Primi 4 termini dello sviluppo do Mc Laurin di una funzione

 

XVI) Esercizio sullo sviluppo di Taylor di una funzione trigonometrica

 

XVII) Primi tre termini del polinomio di Taylor di una funzione fratta

 

XVIII) Sviluppare in serie di Taylor - Mc Laurin una funzione fratta

 

XIX) Calcolare lo sviluppo di Taylor di una funzione fratta con due metodi (Nota bene: il metodo più conveniente è il secondo, leggere fino in fondo!)

 

XX) Sviluppo in serie di Taylor della funzione 1/1-x 

 

XXI) Sviluppo di Taylor Mac Laurin di una radice fino all'ordine 20

 

XXII) Sviluppo di Taylor di una funzione incognita

 

 

Lezione correlata


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