Esercizi risolti sulle funzioni derivabili

Sapete risolvere gli esercizi sulla derivabilità e sulla nozione di funzione derivabile in un punto? In questa scheda ti proponiamo una selezione di esercizi risolti, occhio che c'è un punto molto delicato da cogliere e che accomuna tutti gli esercizi: è lo stesso punto delicato che induce all'errore moltissimi studenti... ;)

 

Attenzione: ci sono altre due schede che potrebbero interessarvi

 

- esercizi sui punti di non derivabilità

 

- esercizi su continuità e derivabilità con uno o più parametri!

 

Alcuni esercizi svolti sulla derivabilità delle funzioni

 

Prima di cominciare, vi mettiamo in guardia sul metodo da seguire per studiare la derivabilità di una funzione in un punto. Nella lezione viene spiegato tutto quello che c'è da sapere, ma come ulteriore approfondimento vi rimandiamo alle seguenti letture.

 

[Importante] Metodo delle derivate per la verifica della derivabilità di una funzione in un punto

 

[Importante] Come studiare la derivabilità in un intervallo

 

Ok, ora passiamo agli esercizi risolti sulla derivabilità. A seconda dei casi si tratta di stabilire se una data funzione sia derivabile o meno in un punto, e in altri di individuare anche il tipo di punto di non derivabilità.

 

I) Individuare gli eventuali punti in cui non è derivabile la funzione

 

 f(x) = | x^2-1 |

 

II) Studiare la derivabilità della funzione

 

f(x)=x\sqrt{|x|}

 

III) Data la funzione

 

f(x)=\begin{cases}x^2+1&\mbox{ se }x<1\\ 3x-1& \mbox{ se }x\geq 1\end{cases}

 

a) studiarne la continuità;

 

b) studiarne la derivabilità nel punto x=1.

 

IV) f(x)=|x^3-2x^2+x|

 

Tale funzione nel punto x_0=1 è:

 

A) derivabile;

B) discontinua;

C) continua e non derivabile;

D) non definita.

 

V) Studiare la derivabilità della seguente funzione nel punto x=2

 

f(x)= \sqrt{x-2}

 

VI) Stabilire in quali punti la seguente funzione a tratti è continua e differenziabile

 

f(x)=\left\{\begin{matrix}-x(x-2)& x\leq 1\\ 1-(x-1)^3& x>1\end{matrix}

 

Nota bene: in una variabile la differenziabilità equivale alla derivabilità.

 

VII) Studiare la derivabilità della seguente funzione definita a tratti

 

f(x)=\begin{cases}2+\sqrt{x+4} & x\geq 0\\ 5-e^x & x<0 \end{cases}

 

VIII) Studiare la continuità e la derivabilità della seguente funzione estesa

 

f(x)= \begin{cases}\frac{e^x-1}{x}&\mbox{ se }x\ne 0\\ 1&\mbox{ se }x=0\end{cases}

 

IX) Studiare la derivabilità della funzione parte intera f(x)=[x]. Cosa si può dire in generale riguardo alla derivabilità delle funzioni costanti a tratti?

 

X) Studiare la continuità e la derivabilità della seguente funzione definita per rami:

 

g(x)=\begin{cases}\frac{|\ln(x+2)|}{x+2}&\mbox{ se }x\textgreater -2\\ 1&\mbox{ se }x\le -2 \end{cases}

 

XI) Studiare la continuità e la derivabilità della funzione

 

f(x)= x^2+2x-1+\frac{x\sin(x)+x^2}{1+\sqrt{|x|}}

 

XII) Studiare la continuità e la derivabilità della seguente funzione definita da 3 rami:

 

f(x)= \begin{cases}||x|-1|&\mbox{ se }x\le 0\\ \ln(x+1)&\mbox{ se }0<x<1\\ |x|^3 e^{-|x|}&\mbox{ se }x\ge 1\end{cases}

 

 

 

Soluzioni e svolgimenti

 

I) Esercizio sulla derivabilità di una funzione con valore assoluto

 

II) Studio della derivabilità di una funzione con radice e modulo (con importanti considerazioni teoriche)

 

III) Dire se una funzione definita a tratti è derivabile

 

IV) Studio della derivabilità di una funzione con modulo in un punto

 

V) Studio della derivabilità di una funzione con radice in un punto

 

VI) Esercizio continuità e differenziabilità di una funzione a tratti

 

VII) Esercizio sulla derivabilità di una funzione definita a tratti

 

VIII) Continuità e derivabilità di una funzione estesa

 

IX) Studio della derivabilità di una funzione costante a tratti

 

X) Esercizio su continuità e derivabilità di una funzione definita per rami

 

XI) Continuità e derivabilità di una funzione impegnativa

 

XII) Derivabilità di una funzione definita mediante 3 rami

 

 

Osservazioni, commenti e considerazioni utili

 

Sull'insieme dei punti di derivabilità di una funzione e sul dominio della derivata

 

Esempio di funzione derivabile una volta ma non due volte

 

Derivabilità da destra o da sinistra

 

Ancora: derivabilità da sinistra o da destra agli estremi di un intervallo chiuso

 

Esempio di funzione derivabile in un punto con derivata non continua

 

 

Lezione correlata


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