Esercizi svolti sul teorema di Rolle

Gli esercizi sul teorema di Rolle che trovate qui sotto richiedono di stabilire se sussistono le ipotesi del teorema, il che ne garantisce l'applicabilità. Sono abbastanza standard e sono molto richiesti sia in quinta superiore che negli esami di Analisi all'università. Pronti per cominciare?

 

Casomai vi servisse, potete consultare la lezione sul teorema di Rolle ed eventualmente la scheda di esercizi sul teorema di Lagrange.

 

Alcuni esercizi svolti sul teorema di Rolle

 

I) Stabilire se il teorema di Rolle è applicabile alla seguente funzione nell'intervallo indicato. In caso di risposta negativa spiegarne il motivo; in caso di risposta affermativa calcolare le ascisse dei punti che verificano il teorema.

 

f(x) = x^2 - 4x + 2\ \ \ \mbox{in }[1,3]

 

II) Data la funzione f(x)=|x| stabilire se è possibile applicare il teorema di Rolle e in caso di risposta negativa spiegare il perché.

 

III) y=x2^x-x^2 nell'intervallo [0,2].

 

IV) Proporre un esempio di funzione f:[0,2]\to\mathbb{R} tale che f(0)=f(2)=0 ma che sia tale da non verificare il teorema di Rolle.

 

V) f(x)= x^4-6x^2+5x\ ,\ x\in \left[0,1\right]

 

VI) Determinare i valori del parametro reale a in corrispondenza dei quali la funzione

 

f(x)=ax^{3}-(a^{2}-1)x^{2}+(a+1)x-a

 

soddisfa la ipotesi del teorema di Rolle nell'intervallo [a,1].

 

VII) Determinare gli intervalli su cui è possibile applicare il teorema di Rolle per la funzione

 

f(x)=|x^2-3|

 

VIII) Determinare i valori da assegnare ai parametri a,b,c\in\mathbb{R} in modo che sia applicabile il teorema di Rolle alla funzione:

 

f(x) = \begin{cases} 2x^2+ax-1\ \mbox{ per }\ x\in [-2,1]\\ bx^3 -2x +c\ \mbox{ per }\ x\in (1,3] \end{cases}

 

IX) Sia f:[0,4]\to\mathbb{R} una funzione derivabile in (0,4). Se f(0)=f(4), allora esiste un punto c\in(0,4) tale che f'(c)=0. Vero o falso? Perché?

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Esercizio sull'applicazione del teorema di Rolle

 

II) Tentare di applicare il teorema di Rolle per il valore assoluto di x

 

III) Ancora sulla verifica delle ipotesi del teorema di Rolle in un esercizio

 

IV) Esercizio su funzione che non verifica le ipotesi del teorema di Rolle

 

V) Applicazione del teorema di Rolle su un dato intervallo e approssimare lo zero della derivata per bisezione

 

VI) Esercizio sulle ipotesi del teorema di Rolle per una funzione con parametro

 

VII) Verificare l'applicabilità del teorema di Rolle per una funzione con valore assoluto

 

VIII) Esercizio sul teorema di Rolle per una funzione definita a tratti

 

IX) Esercizio teorico sul teorema di Rolle

 

 

Lezione correlata


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