Esercizi convergenza integrali impropri

Gli esercizi sullo studio della convergenza degli integrali impropri riguardano l'analisi degli integrali impropri attraverso i criteri e i teoremi di convergenza

 

Tutti gli esercizi svolti sulla convergenza degli integrali impropri proposti qui di seguito sono di riepilogo e hanno lo scopo di ampliare le precedenti schede di:

 

- esercizi sugli integrali impropri di prima specie

 

- esercizi sugli integrali impropri di seconda specie

 

Sottolineiamo che tali esercizi si rivolgono prevalentemente agli studenti universitari e che non prevedono di calcolare il valore degli integrali impropri mediante la definizione (a differenza degli esercizi sul calcolo degli integrali impropri), bensì di studiarne la convergenza mediante appositi criteri. Quali? Quelli che abbiamo trattato nelle lezioni:

 

- sui criteri di convergenza per integrali impropri di prima specie

 

- sui criteri di convergenza per integrali impropri di seconda specie

 

Inoltre, essi costituiscono solamente una piccola selezione di tutti gli esercizi risolti presenti su YM, per cui in caso di necessità vi raccomandiamo l'uso della barra di ricerca interna. Se volete passare ad un livello di difficoltà superiore, vi rimandiamo alla scheda di esercizi sugli integrali impropri con parametro.

 

Esercizi risolti sulla convergenza degli integrali impropri

 

I) \int_{0}^{+\infty}{\frac{4x}{4x^8+1}dx}

 

II) \int_{1}^{+\infty}{\left(\frac{1}{x}\right)\left(\ \sqrt{\frac{x^2+2}{x^4-1}}\right)dx}

 

III) \int_0^\infty e^{-x^2}dx

 

IV) \int_{0}^{+\infty}{\left( \frac{dx}{\sqrt[3]{x}+2\sqrt[4]{x}+x^3}\right)}

 

V) \int_2^{+\infty} \frac{1}{(2x-1)\sqrt{x^2-x-2}}dx

 

VI) \int_{1}^{\infty} \frac{\cos(x)}{\sqrt{x}} dx

 

VII) \int_{0}^{\frac{1}{2}}{\frac{1}{t\sqrt{1-t^3}}dt}

 

VIII) \int_{0}^{+\infty}{\frac{\log{(x^2+1)}}{e^{x}-1}dx}

 

IX) \int_0^{+\infty}\frac{1}{x^2+\sqrt{x}}dx

 

X) \int_{0}^{\infty}\frac{|\sin(x)|}{x^2+x}dx

 

XI) \int_{0}^{\infty}{\frac{e^{-\sqrt{x}}}{\sqrt{x}}dx}

 

XII) \int_{2}^{+\infty}{\frac{\sqrt{x+2}-2}{x^2-3x+2}dx}

 

XIII) \int_{0}^{+\infty} \frac{1-\cos(x)}{(\sqrt{1+x^2}-1)\arctan(\sqrt{x})}dx

 

XIV) \int_0^\infty \frac{\log^3(1+x)}{x^\alpha}\arctan(x) dx

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Studiare la convergenza di un integrale improprio con integranda razionale

 

II) Esercizio sulla convergenza di un integrale improprio di I e II specie

 

III) Integrale improprio misto

 

IV) Integrale improprio con radici

 

V) Esercizio: stabilire se un integrale improprio converge

 

VI) Studio della convergenza e della convergenza assoluta di un integrale improprio

 

VII) Convergenza di due integrai impropri sul medesimo intervallo

 

VIII) Dire se un integrale improprio converge su un intervallo limitato e su uno illimitato

 

IX) Esercizio sulla convergenza di un integrale improprio fratto

 

X) Studio della convergenza di un integrale con valore assoluto e seno

 

XI) Stabilire se un integrale improprio di I e II specie converge

 

XII) Integrale improprio fratto con radice, studio della convergenza

 

XIII) Esercizio sulla convergenza di un integrale improprio su (0,+infinito)

 

XIV) Dire se un integrale improprio con logaritmo e arcotangente converge

 

 

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