Esercizi integrali impropri di II specie

Gli esercizi sugli integrali impropri di seconda specie sono tutti svolti e richiedono di studiare la convergenza degli integrali impropri di seconda specie senza ricorrere alla definizione e facendo riferimento ad opportuni criteri teorici.

 

Prima di buttarci a capofitto sull'elenco è bene evitare qualsiasi possibile fraintendimento. Abbiamo cominciato proponendovi una scheda di esercizi sul calcolo degli integrali impropri, rivolta sia agli studenti di quinta superiore che agli universitari, in cui veniva richiesto di calcolare il valore di alcuni integrali impropri mediante la definizione.

 

Qui ci troviamo al livello successivo. Poiché non è sempre conveniente o possibile applicare la definizione, si studiano appositi criteri di convergenza per gli integrali impropri di seconda specie. Essi permettono di evitare l'uso della definizione e, di norma, sono oggetto di studio solamente nei corsi di Analisi 1 all'università.

 

Siamo pronti per cominciare! Prima però vi ricordiamo che su YM potete trovare tutto quello che vi serve usando la barra di ricerca interna. Ad esempio, avete a disposizione diverse altre raccolte:

 

- esercizi sugli integrali impropri di prima specie

 

- esercizi sulla convergenza degli integrali impropri (di riepilogo)

 

- esercizi sugli integrali impropri con parametro

 

Esercizi risolti sugli integrali impropri di II specie

 

I primi 4 esercizi possono essere risolti seguendo una strada intermedia: criterio + calcolo mediante la definizione.

 

I) \int_0^1\frac{x}{x^3-1}dx

 

II) \int_0^1\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1}dx

 

III) \int_0^1\frac{1}{x^2+2x}dx

 

IV) \int_{4}^{9}\frac{x\sqrt{x}}{\sqrt{x}-3}dx

 

V) \int_{0}^{1}{\frac{e^{x}}{\sqrt{1-\cos{(x)}}}dx}

 

VI) \int_{-1}^{1}\frac{1}{x^2-1}dx

 

VII) \int_{0}^{1}{\frac{1}{\sqrt{x}(1+\sqrt{x})^3}dx}

 

VIII) \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{1}{\cos^{2}{(x)}}dx}

 

IX) \int_{0}^1\frac {\ln(x)}{1-x}dx

 

X) \int_0^1\frac{(1-\cos(x))(1+\sin\left(\frac{1}{x}\right))}{x^{\frac{8}{3}}}dx

 

XI) \int_{0}^{1}{\frac{\log{(1+\sqrt{x})}}{\sqrt{1-x}\sin{(x)}}dx}

 

XII) \int_{0}^{1}{\frac{|\log(x)|}{|x^{2}-1|^{a}}

 

XIII) \int_{0}^{1}(e^{x^2}-1)^{\left(\frac{-1}{3}\right)}dx

 

XIV) \int_{0}^{+\infty}\frac{\sin{\left(x\right)}}{(x+1)^{\frac{3}{2}}-1}dx

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Integrale improprio di seconda specie con funzione razionale

 

II) Integrale improprio fratto con radice di x

 

III) Integrale improprio su (0,1) di una funzione razionale

 

IV) Integrale improprio di seconda specie con radici

 

V) Studiare un integrale improprio di II specie per confronto asintotico

 

VI) Studiare la convergenza di un integrale improprio di II specie con integranda razionale

 

VII) Esercizio con integrale improprio di II specie, integranda fratta e radici

 

VIII) Convergenza di un'integranda fratta per integrale di II specie

 

IX) Studiare un integrale improprio di II specie con rapporto e logaritmo

 

X) Studio della convergenza di un integrale improprio di seconda specie

 

XI) Convergenza di un integrale improprio di seconda specie sull'intervallo (0,1)

 

XII) Esercizio su un integrale improprio di seconda specie nell'intorno di x=0

 

XIII) Esercizio su un integrale improprio di seconda specie con integranda esponenziale

 

XIV) Esercizio jolly: studio di un integrale improprio sia di prima che di seconda specie

 

 

Lezione correlata


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