Esercizi sul calcolo degli integrali impropri

Gli esercizi sul calcolo degli integrali impropri richiedono di determinare il valore degli integrali impropri ricorrendo esclusivamente alla definizione, di cui abbiamo trattato nelle lezioni:

 

- sugli integrali impropri di prima specie

 

- sugli integrali impropri di seconda specie

 

Tali esercizi si rivolgono sia agli studenti di quinta superiore che agli universitari. Se siete alla ricerca di esercizi più avanzati, in cui bisogna effettuare lo studio della convergenza senza ricorrere alla definizione e tipicamente rivolti ai soli studenti universitari, vi rimandiamo all'elenco delle schede di esercizi sugli integrali.

 

Esercizi risolti sul calcolo degli integrali impropri con la definizione

 

I) \int_{0}^{+\infty}{e^{-3x}dx}

 

II) \int_{4}^\infty\frac{x}{x^2-3}dx

 

III) \int_{0}^{+ \infty} (x - 2)e^{-x}dx

 

IV) \int_{1}^{2}\frac{1}{x\ln{(x)}}dx

 

V) \int_1^e\frac{dx}{x\log(x)}

 

VI) \int_{0}^{1}{(x+1)e^{x}\log{(x)}dx}

 

VII) \int_{2}^{+\infty}{\frac{2}{|2-x^2|+1}}dx

 

VIII) \int_{2}^{+ \infty} \frac{x^2}{(x-1)^4}dx

 

IX) \int_{1}^{+\infty}\frac{\arctan(x)}{x^2} dx

 

X) \int_{0}^{\infty}{\left( \frac{1+e^{2x}}{e^{3x}+4e^{x}}\right)dx}

 

XI) \int_{1}^{\infty}\frac{1}{t^{2}} \ln\left ( 1+t \right ) dt

 

XII) \int_0^{-\infty}(2x-1)e^{-x}dx

 

XIII) [Misto] Studiare la funzione y=x\arctan(x) e rappresentala graficamente. Dimostrare che la regione delimitata dal grafico della funzione e dai suoi asintoti obliqui ha area finita e calcolarne il valore.

 

[Suggerimento: ricordare il metodo per calcolare l'area con gli integrali]

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Determinare il valore di un semplice integrale improprio

 

II) Esercizio sul valore di un integrale improprio

 

III) Integrale improprio calcolato per parti

 

IV) Integrale improprio di 1/xlog(x)

 

V) Esercizio integrale improprio con integranda fratta e logaritmo

 

VI) Esercizio sul calcolo di un integrale improprio con la definizione

 

VI) Calcolare un integrale improprio di seconda specie con valore assoluto

 

VII) Calcolo di un integrale improprio con integranda razionale

 

VIII) Esercizio: calcolare un integrale improprio con arcotangente

 

IX) Valore di un integrale improprio con integranda razionale ed esponenziali

 

X) Integrale improprio di una funzione razionale con il limite

 

XI) Calcolare un integrale improprio con logaritmo

 

XII) Esercizio integrale improprio di prima specie con la definizione

 

XIII) Esercizio sull'area compresa tra grafico e asintoto obliquo con integrali impropri

 

 

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