Esercizi integrali di funzioni razionali

Gli esercizi sugli integrali di funzioni razionali che vi proponiamo qui sono tutti risolti e commentati nel dettaglio. La nostra attenzione si concentrerà principalmente sugli integrali indefiniti, anche se sporadicamente vi capiterà di dover calcolare degli integrali definiti. Come ben saprete, il secondo caso non comporta un particolare sforzo rispetto al primo, si tratta semplicemente di calcolare la differenza tra due valutazioni. ;)

 

Nel caso gli esercizi svolti sugli integrali di funzioni razionali non fossero sufficienti vi invitiamo ad usare la barra di ricerca interna: qui su YM abbiamo risolto migliaia e migliaia di esercizi. :)

 

Per la lezione con tutti i metodi per calcolare gli integrali di funzioni razionali - click!

 

Nota bene: nel caso non lo sapeste, esiste una particolare famiglia di integrali di funzioni razionali che richiede un metodo di risoluzione piuttosto delicato. Stiamo parlando dei cosiddetti integrali con delta negativo, ai quali abbiamo dedicato una scheda a parte (→ esercizi sugli integrali con delta negativo).

 

Esercizi svolti sugli integrali di funzioni razionali

 

La consegna dei seguenti esercizi è la stessa: bisogna determinare una famiglia di primitive per ciascuna delle funzioni integrande proposte, ed ove indicato calcolare il valore di un integrale definito. Tutte le funzioni integrande sono funzioni razionali e le tecniche di calcolo da utilizzare spaziano dall'integrazione immediata fino all'applicazione del metodo dei fratti semplici e di particolare trucchetti algebrici.

 

Riscaldamento: integranda razionale non implica automaticamente l'utilizzo del metodo dei fratti semplici. ;)

 

I) \int_1^2\frac{x+3}{x^2 + 6x + 1}dx

 

Un gruppo di esercizi sugli integrali di funzioni razionali con il metodo dei fratti semplici

 

II) \int {\frac{1}{x(1-x)}}dx

 

III) \int \frac{1}{x^2 - 5x + 6}\;dx

 

IV) \int_{0}^{1}\frac{1}{x^{2}-x-2}dx

 

V) \int_{2}^{6}\frac{1-2x}{x^2-8x+7}

 

VI) \int{\left(\frac{1}{3x^2-1}\right)dx}

 

VII) \int\frac{dx}{x(x-1)^2}

 

VIII) \int{\left(\frac{3x}{x^3 -1}\right)dx}

 

IX) \int{\frac{3x+1}{x^3+2x^2+x+2}dt}

 

X) \int\frac{dx}{x^{4}-1}

 

XI) \int \frac{x^2}{(x^2-9)^2}dx

 

XII) \int \frac{x^3}{x^2-4x+4}dx

 

XIII) \int{\frac{2x^3+x^2+4}{(x^2+4)^2}dx}

 

XIV) \int{\frac{3x}{x^3-1}dx}

 

XV) \int \frac{x^3}{x^4+2x^2+1}

 

Alcuni integrali di funzioni razionali con trucchetti algebrici: moltiplica e dividi, somma e sottrai (due dei più ricorrenti trucchi in Matematica).

 

XVI) \int \frac{x^3+5x^2+4x+4}{x^2+1}dx

 

XVII) \int_{0}^{1}{\frac{x-2}{1+9x^2}dx}

 

XVIII) \int\frac{x-x^2}{1+x}dx

 

Esercizi sugli integrali di funzioni razionali con numeratore di grado superiore rispetto a quello del denominatore. Da qui in poi può tornare estremamente utile la tecnica di divisione tra polinomi.

 

XIX) \int \frac{x^2-3x+2}{x+4}dx

 

XX) \int{\frac{x^2-x}{2x+1}dx}

 

XXI) \int{\frac{x^{4}}{x-1}dx}

 

XXII) \int \frac{2x^4+4}{x^3+1}dx

 

XXIII) \int\frac{x^3 +1}{5x^2+6}dx

 

XXIV) \int_{1}^{3}{\frac{x^2}{x-4}dx}

 

XXV) \int\frac{x^4+9}{x^2-5x+6}dx

 

Esercizi sugli integrali di funzioni razionali con numeratore del medesimo grado rispetto a quello del denominatore. 

 

XXVI) \int \frac{x+1}{x-3}dx

 

XXVII) \int {\frac{x^2}{5x^2+4x+1}}dx

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Integrale definito di una funzione fratta

 

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II) Esercizio su integrale di una funzione razionale da calcolare con i fratti semplici

 

III) Fratti semplici, integrale fratto con denominatore di secondo grado

 

IV) Esercizio integrale definito di una funzione razionale

 

V) Integrale definito di una funzione razionale con i fratti semplici

 

VI) Esercizio integrale con fratti semplici e termini radicali

 

VII) Esercizio integrale razionale con numeratore costante e denominatore prodotto

 

VIII) Considerazioni e applicazione dei fratti semplici per integrare una funzione razionale

 

IX) Integrale razionale con il metodo dei fratti semplici

 

X) Esercizio con integrale razionale e denominatore di grado maggiore del numeratore 

 

XI) Integrale con integranda razionale e fratti semplici

 

XII) Integrale di una funzione razionale con quadrato perfetto al denominatore

 

XIII) Esercizio sui fratti semplici con scomposizione particolare

 

XIV) Integrale con integranda razionale e fratti semplici

 

XV) Integrale smanettone con i fratti semplici

 

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XVI) Risoluzione di un integrale fratto con trucchi algebrici

 

XVII) Altro esercizio sugli integrali di funzioni razionali risolto con considerazioni algebriche

 

XVIII) Trucchi algebrici per il calcolo di un integrale con una funzione razionale

 

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XIX) Integrale di una funzione razionale con numeratore di grado superiore

 

XX) Esercizio integrale di funzione razionale con divisione polinomiale

 

XXI) Integrale di una funzione razionale con numeratore di grado maggiore del denominatore

 

XXII) Secondo integrale con grado del numeratore maggiore del grado del denominatore

 

XXIII) Terzo integrale con grado numeratore > grado denominatore

 

XXIV) Ultimo integrale con grado del numeratore superiore a quello del denominatore

 

XXV) Esercizio di riepilogo sui possibili casi a seconda del grado di numeratore e denominatore

 

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XXVI) Integrale di una funzione razionale con numeratore e denominatore dello stesso grado

 

XXVII) Secondo integrale razionale con numeratore e denominatore di ugual grado

 

 

Lezione correlata


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