Esercizi volume di solidi di rotazione con gli integrali

Gli esercizi sul volume dei solidi di rotazione presenti in questa pagina sono tutti risolti, e sono rivolti agli studenti del quinto anno delle scuole superiori e agli universitari che affrontano il corso di Analisi 1.

 

Gli esercizi svolti sul volume dei solidi di rotazione con gli integrali richiedono l'utilizzo degli integrali in una variabile, sono di vario tipo e di vari livelli di difficoltà. In alcuni casi è richiesto di calcolare il volume di solidi di rotazione attorno all'asse x, in altri attorno all'asse y. La lezione di riferimento, in cui vengono presentate le varie formule da utilizzare a seconda dei casi, è: volume dei solidi di rotazione con gli integrali.

 

Attenzione a non confondere questa tipologia di esercizi con i più elementari problemi sui solidi di rotazione, che tipicamente vengono affrontati dagli studenti di terza media (anno scolastico in cui per la prima volta viene affrontato lo studio dei solidi di rotazione).

 

A titolo di cronaca, il metodo di calcolo del volume dei solidi di rotazione viene raffinato negli studi di Analisi 2 e chi fosse interessato può anche leggere la scheda di esercizi sugli integrali tripli.

 

Alcuni esercizi risolti sul calcolo del volume dei solidi di rotazione

 

I) Calcolare la misura del volume del solido generato dalla rotazione intorno all'asse x della porzione di piano limitata dalla parabola y^2=2x e dalla retta x=3.

 

II) Calcolare il volume generato dalla rotazione dell'area delimitata da 4x^2+9y^2=36 con y\geq 0 rispetto all'asse x.

 

III) Calcolare il volume del solido ottenuto dalla rotazione della parte di piano delimitata dal grafico della funzione y=4x^2 e dalla retta x=2 intorno all'asse delle y.

 

IV) Calcolare il volume generato dalla rotazione della curva y^2=8x con 0\leq x\leq 2, rispetto all'asse x=2.

 

V) Calcolare il volume del solido generato dalla rotazione della curva x^2+y^2-4x=0 attorno all'asse x.

 

VI) Disegnare la curva y=x^2-x^3 e determinare:

 

- la misura dell'area della parte finita di piano S limitata dalla curva e dall'asse x;

 

- la misura del volume del solido generato dalla superficie S in una rotazione attorno all'asse x.

 

VII) Si consideri la regione delimitata da y=\sqrt{x}, dall'asse x e dalla retta x=4 e si calcoli il volume del solido che essa genera ruotando di un giro completo intorno all'asse y.

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Volume di un solido di rotazione attorno all'asse delle x

 

II) Altro esercizio sul volume di un solido di rotazione attorno all'asse x

 

III) Volume di un solido di rotazione attorno all'asse delle y

 

IV) Volume di un solido di rotazione attorno a un asse parallelo all'asse delle x

 

V) Esercizio sul volume di un solido generato dalla rotazione di una curva

 

VI) Esercizio su area e volume con gli integrali

 

VII) Esercizio sul volume di un solido di rotazione attorno all'asse y

 

 

Lezione correlata


Tags: esercizi svolti sul calcolo del volume dei solidi di rotazione attorno all'asse x e attorno all'asse y con gli integrali.

 

pba1