Esercizi area con integrali

State leggendo la scheda di esercizi svolti sul calcolo dell'area sottesa dal grafico di una funzione o compresa tra i grafici di due funzioni.

 

Negli svolgimenti dei vari esercizi, oltre alla risoluzione analitica, viene fornita in diversi casi anche una rappresentazione dell'area nel piano cartesiano, in modo da agevolare la risoluzione dell'esercizio.

 

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Premessa: le lezioni di riferimento sono quelle sul significato geometrico dell'integrale di Riemann e sul metodo pratico per calcolare l'area sottesa dal grafico di una funzione.

 

Un po' di esercizi risolti sul calcolo delle aree con gli integrali

 

I) Data la funzione di variabile reale

 

f(x)= xe^{x^2}

 

calcolare l'area della regione del piano delimitata dal grafico della funzione e dalle rette y=0,\ x=0,\ x=1.

 

II) Data la funzione

 

y=-x^3-2x^2+x+2

 

calcolare l'area sottesa dal grafico della funzione, la quale interseca le rette y=0,\ x=-2,\ x=-1.

 

III) Calcola l'area della parte di piano delimitata dalle rette di equazione y=-3,\ x=-1,\ x=0, dalla parabola y=3x^2+2x+1 e dall'asse x.

 

IV) Data la funzione di variabile reale

 

f(x)=-x^4+6x^2-8

 

calcolare l'area della regione del piano delimitata dal grafico della funzione e dalle rette y=0,\ x=\sqrt{2},\ x=2.

 

V) Calcolare l'area della porzione di piano compresa tra l'asse delle x e il grafico di y=xe^{x} nell'intervallo [-1;1].

 

VI) Determinare l'area della regione di piano compresa tra le rette x=0,\ x=\pi, l'asse x e il grafico della funzione f(x)=x\sin(2x-1).

 

VII) Si determino le coordinate dei punti comuni alle due curve aventi le seguenti equazioni e si calcoli la misura dell'area della parte di piano limitata dagli archi delle due curve considerate, aventi per estremi i punti prima determinati:

 

y=3x^2+5x-1,\ y=2x+5

 

VIII) Calcolare l'area della regione di piano delimitata dal grafico della funzione f(x) e dall'asse delle x, in corrispondenza dell'intervallo (1,2):

 

f(x)=\begin{cases}x^3-1\mbox{ se }x\leq 1\\ -x^2e^x\mbox{ se }x>1\end{cases}

 

IX) Calcolare l'area tra la parabola di vertice (2;-1) passante per l'origine degli assi e la retta di equazione y=-x+1.

 

X) Determinare l'area della regione finita di piano compresa tra i grafici delle funzioni:

 

y=-\frac{1}{2}x^2 + 1\ \ \ ;\ \ \ y= 2^x

 

XI) Date le funzioni

 

f(x) = -x^2 + 4\ \ \ ;\ \ \ g(x) = |x| - 2

 

calcolare l'area della regione finita di piano compresa tra i grafici delle due funzioni.

 

XII) Determinare l'area compresa tra i grafici delle due funzioni date da

 

y=|x+1|\ \ \ ;\ \ \ y=-\left(x-\frac{1}{2}\right)^2+3

 

XIII) Siano date le funzioni

 

f(x)=x^2\ \ \ ;\ \ \ g(x)=\frac{1}{2}x

 

definite sull'intervallo \left[0,\frac{5}{2}\right]. Calcolare l’area della regione di piano delimitata dai grafici delle funzioni f,g e della retta di equazione x=\frac{7}{4}.

 

XIV) Si considerino i grafici delle funzioni

 

f(x)=x^3+1\ \ \ ;\ \ \ g(x)=x^4-7

 

sull'intervallo [0,3). Si calcoli l'area della regione piana A costituita da tutti i punti del piano la cui ascissa cade nell'intervallo [0,3) e la cui ordinata y soddisfa la condizione g(x)<y<f(x), ovvero della regione di piano compresa tra i grafici delle due funzioni f,g.

 

XV) Calcolare la porzione di piano compresa tra la curva di equazione y=|e^x-1|x e l'asse delle ascisse, con x\in[-1,1].

 

XVI) Determinare l'area compresa tra due curve nel primo quadrante, rispettivamente date da

 

y=x\ \ \ ;\ \ \ y=\sqrt{1-x^2}

 

XVII) Individuare il valore dell'area compresa tra i grafici delle seguenti funzioni

 

y=\frac{x+1}{x}\ \ \ ;\ \ \ y=x-2

 

XVIII) [Esercizio misto] Disegnare le due curve di equazione

 

y=-x^2+6x-5\ \ \ ;\ \ \ y=x^2-4x+3

 

Trovare a quale distanza dall'asse y, internamente alla striscia determinata dalle perpendicolari all'asse x passanti per i due punti d'incontro delle due curve, deve essere condotta una retta parallela all'asse y stesso, affinché sia massimo il segmento di essa aventi gli estremi sulle due parabole. Determinare poi la misura dell'area della figura piana limitata dai due archi delle curve date che hanno per estremi i punti comuni alle due curve stesse.

 

XIX) [Esercizio misto] Scrivere l'equazione della parabola passante per il punto A(4;0) e per l'origine O degli assi ed ivi tangente alla retta di coefficiente angolare 2. Sulla tangente in O si consideri il punto P di ascissa x=3 e da P si conduca l'ulteriore retta tangente in T. Calcolare la misura dell'area della figura piana compresa tra le due tangenti e l'arco OT di parabola.

 

XX) Trovare k in modo tale che sia pari a 5 l'area sottesa dal grafico della funzione f(x) e compresa tra le rette x=4\mbox{ e }x=6, con

 

f(x)= \sqrt{x-3}+ke^{-3x}

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Calcolare l'area sottesa da una funzione prodotto su un intervallo

 

II) Esercizio sul calcolo dell'area sottesa dal grafico di una funzione

 

III) Come spezzare l'intervallo di integrazione quando l'area è formata dal grafico e da una retta orizzontale

 

IV) Calcolare l'integrale per l'area compresa tra il grafico di una funzione e una retta orizzontale

 

V) Segno dell'area di una porzione di piano con gli integrali

 

VI) Area della regione di piano racchiusa dal grafico di una funzione

 

VII) Esercizio su integrali e area delle figure piane

 

VIII) Integrali per il calcolo dell'area sottesa da una funzione definita a tratti

 

IX) Determinare l'area compresa tra una parabola e una retta usando gli integrali

 

X) Calcolare gli integrali per l'area compresa tra i grafici di due funzioni

 

XI) Altro esercizio su calcolo dell'area con calcolo integrale

 

XII) Area sottesa da funzione con radice e valore assoluto

 

XIII) Determinare gli integrali che individuano l'area compresa tra i grafici di due funzioni

 

XIV) Esercizio: biscotto integrale

 

XV) Integrale di una funzione con modulo per l'area sottesa sull'intervallo [-1,+1]

 

XVI) Esercizio area compresa tra due curve con gli integrali

 

XVII) Problema completo di Geometria Analitica con il calcolo dell'area mediante integrali

 

XVIII) Calcolo dell'area sottesa tra due curve con gli integrali

 

XIX) Una altro problemuccio sul calcolo dell'area sottesa con gli integrali

 

XX) Esercizio sull'area sottesa dal grafico di una funzione con un parametro

 

 

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