Esercizi media integrale

In questa scheda potete mettervi alla prova con una selezione di esercizi sulla media integrale, interamente risolti e spiegati nel dettaglio.

 

Tutti gli esercizi svolti sul teorema della media integrale presenti in questa pagina riguardano il calcolo della media di funzioni su intervalli assegnati, mediante la formula espressa dall'omonimo teorema. In termini di esercitazione forniscono un ottimo campo di allenamento perché richiedono sia la conoscenza teorica dei risultati relativi all'integrazione, sia le tecniche pratiche di calcolo degli integrali. ;)

 

Per un ripasso sul teorema della media integrale vi rimandiamo alla lezione del link e come al solito vi ricordiamo che YM è pieno zeppo di esercizi risolti: potete reperire tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. :)

 

Esercizi risolti sulla media integrale

 

I) Determinare il valor medio della seguente funzione sull'intervallo [3,5]

 

f(x)=\frac{x^2 + 2}{x^2 - 4}

 

II) Dopo aver provato che

 

f(x)=\begin{cases}1\mbox{ se }0\le x\le 2\\ x-1\mbox{ se }2<x\le 3\end{cases}

 

soddisfa le ipotesi del teorema della media integrale sull'intervallo [0, 3] verificare ciò che il teorema stesso afferma.

 

III) Dopo aver calcolato la media integrale M_{f} della funzione

 

f(x)=\ln(x)+1

 

sull'intervallo [1,2], determinare un punto c \in  (1,2) tale che f(c)=M_{f}.

 

IV) Determinare gli eventuali punti in cui la funzione f:[0;3]\to\mathbb{R}, definita come segue, assume il suo valor medio integrale.

 

f(x)= \begin{cases}1&\mbox{ se }0\le x< 1\\ -1&\mbox{ se }1\le x\le 2\\ x-2&\mbox{ se } 2< x\le 3\end{cases}

 

V) Calcolare la media integrale della funzione f(x)=x+e^x nell'intervallo [0,2].

 

VI) Determinare il valor medio della funzione f(x)=\cos^2(x) sull'intervallo \left[0,\frac{\pi}{2}\right] e gli eventuali punti in cui la funzione assume il valor medio.

 

VII) Determinare i valori del parametro reale \alpha per cui è applicabile il teorema della media integrale alla seguente funzione sull'intervallo [-1,e-1].

 

f(x)=\begin{cases}2-x^2&\mbox{ se }x\le 0\\ \frac{\alpha}{x+1}&\mbox{ se }x\textgreater 0\end{cases}

 

VIII) Determinare il valore reale k>0 per cui la funzione

 

f(x)=\frac{x^2}{2}+x

 

abbia media integrale uguale a \frac{2}{3} nell'intervallo [0,k].

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Determinare il valor medio di una funzione fratta su un intervallo con media integrale

 

II) Esercizio sul teorema della media integrale

 

III) Problema sulla media integrale

 

IV) Altro problema svolto sulla media integrale

 

V) Calcolo della media integrale

 

VI) Calcolare il valor medio mediante il teorema della media integrale

 

VII) Verificare se una funzione definita a tratti soddisfa le ipotesi del teorema della media integrale

 

VIII) Esercizio sulla media integrale con parametro

 

 

Lezione correlata


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