Esercizi integrali per sostituzione

In questa pagina vi proponiamo tanti esercizi sugli integrali per sostituzione, tutti interamente risolti e con tutti i passaggi necessari per arrivare al risultato.

 

Tenete presente che nella maggior parte dei casi il metodo di calcolo degli integrali per sostituzione è una tecnica di transizione che consente di riscrivere l'integrale in una forma più accessibile, in modo da poter effettuare successivamente il calcolo diretto (perché riconduce ad un integrale elementare) oppure un'altra tecnica di integrazione altrimenti inapplicabile (come ad esempio il metodo di integrazione per parti).

 

Nel caso gli esercizi svolti sugli integrali per sostituzione non bastassero vi invitiamo ad usare la barra di ricerca interna; qui su YM avete a disposizione migliaia di esercizi. ;)

 

Scheda di esercizi svolti sugli integrali per sostituzione

 

Il primo blocco di esercizi riguarda il calcolo degli integrali indefiniti con il metodo di sostituzione.

 

I) \int\frac{3e^x}{1+e^{2x}} dx

 

II) \int{\frac{e^{2x}}{e^{2x}+2}}dx

 

III) \int \frac{e^x}{e^{2x}+1}dx

 

IV) \int \frac{\ln(x)}{x(\ln^4(x)+1)}dx

 

V) \int \frac{\ln^2(x)+1}{x\ln(x)}dx

 

VI) \int \frac{1}{\sqrt{x}+x\sqrt{x}}dx

 

VII) \int \frac{\sqrt{1-x}+3}{\sqrt{1-x}+1}dx

 

VIII) \int\frac{1}{1 + \sqrt{x} }\; dx

 

IX) \int{\frac{3+\sin(x)}{1+\cos(x)}dx}

 

X) \int\frac{2-x}{\sqrt{x}(\sqrt{x}+1)}dx

 

XI) \int \frac{x^3}{\sqrt{9-x^2}}dx

 

XII) \int{\frac{x^{5}-x^{3}}{\sqrt{x^{2}-1}}dx}

 

XIII) \int{\sqrt{7-x^2}dx}

 

XIV) \int{\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-\sqrt[3]{x}}{dx}}

 

XV) \int \frac{\tan\left(\frac{4}{3}x\right)}{\cos^2\left(\frac{4}{3}x\right)}dx

 

XVI) \int{\cos^3(x)dx}

 

XVII) \int{\sin^3{(x)}\cos^2{(x)}dx}

 

XVIII) \int{\frac{e^{\tan{(x)}}}{\cos^2{(x)}}dx}

 

Per completezza, ecco alcuni esercizi su integrali definiti da risolvere con il metodo di sostituzione. Attenzione perché in questo caso gli estremi di integrazione vanno sostituiti coerentemente con la sostituzione adottata.

 

XIX) \int_{-1}^0\frac{2x+1}{x+2} dx

 

XX) \int_1^2\frac{dx}{x(\log(2x))}

 

XXI) \int_{0}^{\sqrt{e^2-1}}\frac{\sqrt[5]{\ln(1+x^2)}x}{1+x^2}dx

 

XXII) \int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\frac{\cos(x)}{1+\sin^2(x)}dx

 

Ora alziamo un po' il livello e passiamo ad esercizi in cui l'integrazione per sostituzione viene combinata con altre tecniche di integrazione.

 

XXIII) \int_{0}^{8}{\left e^\sqrt[3]{x} \right dx}

 

XXIV) \int{\left(\frac{1}{x^3}e^\frac{1}{x}\right)dx}

 

XXV) \int{\left(\frac{e^{2x}+3e^x}{e^x+1}\right)dx}

 

XXVI) \int{\left(\frac{1}{e^x+3}\right)dx}

 

XXVII) \int{\left(\frac{e^{3x}}{e^{2x}-5e^x+6}\right)dx}

 

XXVIII) \int{\left(\frac{1}{x^2}\cos\left(\frac{1}{\sqrt{x}\right)}\right)dx}

 

XXIX) \int \frac{2}{(t^{2}+1)^{2}} dx

 

XXX) \int \frac{e^{3x}}{e^{2x}-3e^{x}-10}dx

 

XXXI) \int_{1}^{2}{\frac{x+4\sqrt{x}}{3x+\sqrt{x}}dx}

 

XXXII) \int \frac{\sqrt{x+1}}{x^3}dx

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Integrale esponenziale per sostituzione

 

II) Integrale calcolato per sostituzione esponenziale

 

III) Altro integrale per sostituzione esponenziale

 

IV) Integrale per sostituzione logaritmica di una funzione fratta

 

V) Integrale con sostituzione logaritmo

 

VI) Esercizio integrale per sostituzione con radice di x

 

VII) Integrale con sostituzione di una radice

 

VIII) Altro integrale con sostituzione irrazionale

 

IX) Integrale per sostituzione mediante formule parametriche

 

X) Calcolare l'integrale di una funzione fratta per sostituzione: quale scegliere?

 

XI) Calcolo di un integrale fratto con radice

 

XII) Problema nella scelta della sostituzione

 

XIII) Integrale di una funzione irrazionale con sostituzione trigonometrica

 

XIV) Sostituzione in un integrale con radici con indici diversi

 

XV) Calcolare un integrale per sostituzione trigonometrica

 

XVI) Altro integrale calcolato con una sostituzione goniometrica

 

XVII) Integrale goniometrico con potenze di seno e coseno

 

XVIII) Integrale fratto con esponenziale e tangente, calcolato per sostituzione diretta

 

XIX) Integrale definito fratto per sostituzione lineare

 

XX) Integrale fratto con logaritmo al denominatore, per sostituzione

 

XXI) Integrale definito per sostituzione diretta

 

XXII) Integrale definito fratto con seno e coseno per sostituzione

 

XXIII) Integrale definito con esponenziale e radice cubica

 

XXIV) Integrale di un prodotto per sostituzione

 

XXV) Integrale fratto per sostituzione con esponenziali

 

XXVI) Integrale per sostituzione che diventa razionale

 

XXVII) Integrale indefinito con funzione fratta e termini esponenziali

 

XXVIII) Integrale per sostituzione con coseno e radice di x

 

XXIX) Esercizio integrale con sostituzione trigonometrica

 

XXX) Integrale razionale dopo sostituzione esponenziale

 

XXXI) Integrale fratto con radici per sostituzione

 

XXXII) Integrale fratto con radice al numeratore

 

 

Lezione correlata


Tags: esercizi risolti sugli integrali per sostituzione.

 

pba1