Esercizi sugli integrali elementari

Come scheda di apertura vi proponiamo una carrellata di esercizi sugli integrali elementari. Con questa espressione ci riferiamo agli integrali che non richiedono alcuna particolare tecnica di integrazione, se non:

 

- la definizione di integrale definito

 

- le proprietà degli integrali

 

- la definizione di integrale indefinito ed il relativo metodo dell'antiderivata

 

- il teorema fondamentale del calcolo integrale

 

- la tabella degli integrali fondamentali

 

 

Il primo blocco di esercizi riguarda gli integrali indefiniti, mentre il secondo gli integrali definiti. Alla fine di ciascun blocco vengono riportare le relative soluzioni; notate che non sono presenti gli svolgimenti degli esercizi perché la risoluzione è immediata. :)

 

Esercizi sugli integrali indefiniti elementari

 

La richiesta di ciascuno dei seguenti esercizi prevede di individuare la famiglia di primitive di ciascuna delle funzioni integrande.

 

I) \int \pi dx

 

II) \int\frac{x^3}{2}dx

 

III) \int\left(x^5+5x^4+\frac{x^3}{3}+3x^2+1\right)dx

 

IV) \int(3e^x+1)dx

 

V) \int\left(\sqrt[4]{x}+\frac{x}{2}\right)dx

 

VI) \int 2\sin(x)dx

 

VII) \int\frac{2}{x}dx

 

VIII) \int\frac{1+x}{x}dx

 

IX) \int\left(3^x+\cos(x)+\frac{x^6}{7}\right)dx

 

X) \int\frac{2}{1+x^2}dx

 

XI) \int\frac{3}{\sqrt{1-x^2}}dx

 

XII) \int\frac{x^6+8x^7}{\sqrt[3]{x^2}}dx

 

XIII) \int 2e^{2x}dx

 

XIV) \int\cos(2x)dx

 

XV) \int\frac{e^{\ln(x)}}{x}dx

 

XVI) \int\cos\left(\frac{3x}{2}\right)dx

 

XVII) \int\frac{1}{4\sin^2(x)}dx

 

XVIII) \int\left(\frac{2^{5x}}{3}+\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right)dx

 

Soluzioni

 

Nota: c indica una costante additiva arbitraria, che individua tutte e sole le funzioni della famiglia di primitive.

 

I) \pi x+c

 

II) \frac{x^4}{8}+c

 

III) \frac{x^6}{6}+x^5+\frac{x^4}{12}+x^3+x+c

 

IV) 3e^x+x+c

 

V) \frac{4}{5}\sqrt[4]{x^5}+\frac{x^2}{4}+c

 

VI) -2\cos(x)+c

 

VII) 2\log(|x|)+c

 

VIII) \log(|x|)+x+c

 

IX) \frac{3^x}{\log(3)}+\sin(x)+\frac{x^7}{49}+c

 

X) 2\arctan(x)+c

 

XI) 3\arcsin(x)+c

 

XII) \frac{3}{209}x^{\frac{19}{3}}(76x+11)+c

 

XIII) e^{2x}+c

 

XIV) \frac{1}{2}\sin(2x)+c

 

XV) e^{\ln(x)}+c

 

XVI) \frac{2}{3}\sin\left(\frac{3}{2}x\right)+c

 

XVII) -\frac{1}{4}\cot(x)+c

 

XVIII) \frac{32^x}{3\log(32)}-2\cos\left(\frac{x}{2}\right)+c

 

Esercizi sugli integrali definiti fondamentali 

 

Il secondo blocco di esercizi sugli integrali elementari riguarda gli integrali definiti e richiede un piccolo passaggio in più: dopo aver determinato una primitiva per ciascuna delle funzioni integrande, è necessario calcolare la differenza delle valutazioni della primitiva agli estremi. Si tratta in buona sostanza di applicare il teorema fondamentale del calcolo integrale.

 

I) \int_{0}^{2}3dx

 

II) \int_1^5 \frac{x^2}{3}dx

 

III) \int_{-1}^{1}\left(x^6+\frac{x^2}{3}+4\right)dx

 

IV) \int_0^1\frac{\sqrt[3]{x^2}+x^2}{4}dx

 

V) \int_{\frac{\pi}{2}}^{\pi}2\cos(x)dx

 

VI) \int_0^{2\pi}\frac{\sin(x)}{7}dx

 

VII) \int_{\frac{1}{2}}^{\frac{3}{4}}\frac{dx}{x^3}

 

VIII) \int_{\log(2)}^{\log(4)}\frac{1+x^3}{x^2}dx

 

IX) \int_{0}^{\pi}\left(5^x+\sin(x)+\frac{x^2}{\pi}\right)dx

 

X) \int_{-3}^{-2}\frac{1+x^4}{x^2}dx

 

XI) \int_{0}^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}dx

 

XII) \int_{-1}^{+1}\frac{x^3+x}{\sqrt{x}}dx

 

XIII) \int_{\log(2)}^{\log(3)}3e^{\frac{x}{2}}dx

 

Soluzioni

 

I) 6

 

II) \frac{124}{9}

 

III) \frac{536}{63}

 

IV) \frac{7}{30}

 

V) -2

 

VI) 0

 

VII) \frac{10}{9}

 

VIII) \frac{1+3\log^3(2)}{\log(4)}

 

IX) 2+\frac{\pi^2}{3}+\frac{5^{\pi}-1}{\log(5)}

 

X) \frac{13}{2}

 

XI) \frac{\pi}{6}

 

XII) Non si può calcolare: si confronti il dominio dell'integranda con l'insieme di integrazione.

 

XIII) 6(\sqrt{3}-\sqrt{2})

 

 

Lezione correlata


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