Esercizi sulle funzioni integrali

Esercizi risolti sulle funzioni integrali, con le possibili richieste da esame scritto e orale.

State per consultare una carrellata di esercizi sulle funzioni integrali. Tutti gli esercizi che seguono sono risolti e ruotano intorno ad un concetto tanto importante quanto ostico dell'Analisi Matematica: le funzioni integrali.

 

Gli esercizi svolti sulle funzioni integrali sono di vario tipo: derivate di funzioni integrali, insieme di definizione di funzioni integrali, limiti e così via.

 

Lo scopo di questa scheda consiste nel preparare gli studenti allo studio di funzione integrale, a cui abbiamo dedicato una raccolta a parte: esercizi sullo studio della funzione integrale.

 

Esercizi risolti sulle funzioni integrali

 

I) Determinare un'espressione esplicita per la funzione integrale

 

\\ F(x)=\int_{0}^{x}f(t)dt\\ \\ \mbox{ dove }f(t)=\begin{cases}(2t)^3-1\ \mbox{ se }\ t\geq 1 \\ (3t)^{2}+1\ \mbox{ se }\ t< 1 \end{cases}

 

II) Data la funzione integrale F:[-1,3]\to\mathbb{R} definita da

 

F(x)=\int_{-1}^{x}{|t|dt}

 

determinare la valutazione F(1).

 

III) Studiare il segno della funzione integrale

 

F(x)=\int_{-1}^{x}{|t-2| e^{(t-2)^2} dt}

 

IV) Determinare l'ordine di infinitesimo per x\to 0 della funzione integrale

 

F(x)=\int_{0}^{x}\frac{\arctan(t^2)}{4+2t^3}dt

 

V) Calcolare la derivata di ciascuna delle seguenti funzioni integrali

 

G(x)=\cos(x) \int_{4}^{x} e^{-t^2} ,dt\ \ \ ;\ \ \ H(x)=\cos(x) \int_{4}^{6x} e^{t^2} ,dt

 

VI) Dimostrare che la funzione integrale

 

F(x)= \int_{1}^{\arctan(x)}\frac{1}{e^{t^2-t}}dt

 

il cui domino è D=\mathbb{R}, è invertibile. Detta x=g(y) la funzione inversa, calcolare g'(0).

 

[Suggerimento: teorema per la derivata della funzione inversa]

 

VII) Provare che la seguente funzione è invertibile

 

F(x)=1+\int_{0}^{x}\frac{1}{(\sin(t)+4)^2}dt

 

e calcolare (f^{-1})'(1).

 

VIII) Per quali valori del parametro reale k\in\mathbb{R} la seguente funzione integrale è crescente?

 

F(x)=\int_{0}^{x}{(t^2+(1-k)t+1)dt}

 

IX) Studiare la monotonia della funzione integrale F(x) sull'intervallo (1,2)

 

F(x)=\int_{-9}^{x}{\left(\frac{2-t}{\ln{t^{2}+1}}\right)dt}

 

X) Scrivere l'equazione della retta tangente al grafico della funzione integrale F(x) nel punto di ascissa x_0=1:

 

F(x) = \int_{1}^{x^2}{\frac{1}{t^8+1}dt}

 

XI) Determinare i punti di max e min e scrivere l'equazione della tangente in y=0

 

F(x)= \int_{1}^{x}\frac{e^t+2}{t^2+1}dt

 

XII) Studiare il segno di F'(x) per x>0, dove

 

\displaystyle{F(x) = \int_0^x \frac{e^t-t}{\left(t^3+1\right) \log (t+2)} \, dt}

 

XIII) Individuare il dominio di

 

\int_{1}^{x}{\left( \frac{t}{t^2\sqrt{t-1}} \right) dt}

 

XIV) Determinare il dominio della funzione

 

F(x)=\int_{-1}^{x}{\frac{e^{t}}{t\sqrt[3]{t+2}} dt}

 

XV) Stabilire se la seguente è una funzione iniettiva

 

F(x)=\int_1^x e^{-t^2+2t}dt

 

XVI) Calcolare i punti estremanti della funzione F(x) sull'intervallo [-3,0]

 

F(x)=\int_{1}^x|1+t|\cos(t)dt

 

XVII) Studiare la convessità della funzione integrale

 

F(x)=\int_{0}^{x}\log (t) dt

 

XVIII) Scrivere lo sviluppo di Taylor con resto di Peano, centrato in x_0=0 al secondo ordine, per la funzione

 

F(x)=\int_{1}^{\sqrt{x+1}}{\sin (\pi t^2) dt}

 

XIX) Scrivere la formula di Taylor arrestata al secondo ordine di F(x) nel punto di ascissa x_0=1, con il resto secondo Peano

 

F(x) = \int_{1}^{x^2}{\frac{e^t}{t+1} dt}

 

XX) Data

 

F(x)=\int_{0}^{x^2}\frac{dt}{(1+t^2)(t+1)}

 

- calcolare F'(x) e il polinomio di Taylor di ordine 5 di F'(x) in x_0=0

 

- calcolare il polinomio di Taylor di ordine 6 di F(x) in 0.

 

XXI) Approssimare a meno di 10^{-2} il seguente integrale definito

 

\int_{0}^{\frac{1}{2}}x\sin(x)dx

 

XXII) Calcolare lo sviluppo di Taylor fino all'ordine 3 incluso, della funzione

 

F(x)\ =\sin\left(\int_{2x}^0\ e^{-t^2}\ dt\right)

 

Trovare poi le costanti

 

\lim_{x \rightarrow 0}\ \ \frac{F(x)+\alpha x+\beta x^2+\gamma x^3}{x^3}\ =\ 1

 

XXIII) \lim_{x\to +\infty}\int_2^x\sqrt{1+t^4}dt\ \ \ ;\ \ \ \lim_{x\to -\infty}\int_2^x\sqrt{1+t^4}dt

 

XXIV) \lim_{x\to 0^+}{\frac{\ln\left(\frac{\int_{0}^{x}{\left(\cos(t^2)\right)dt}}{x}\right)}{x^{a}}}

 

XXV) \lim_{x\to 0 }{\frac{1}{x^{4}}\int_{0}^{x^{2}}{ \frac{t}{1-\sin(t)}dt}}

 

XXVI) \lim_{x\to+\infty}\int_{0}^{x}\log\left(1+\frac{1}{1+[t]}\right)dt

 

dove [t] indica la parte intera di t.

 

XXVII) [Misto] Data la funzione dipendente dal parametro a

 

\\ g_{a}(x)=\begin{cases}\frac{\sin(3x)}{x}\mbox{ se }x \neq 0\\ a\mbox{ se }x = 0\end{cases}

 

Dire se esistono valori reali di a tali per cui g_{a} risulta continua su \mathbb{R}. Sia g_{0}(x) la funzione ottenuta per uno di tali valori: calcolare il limite della funzione integrale

 

\lim_{x\to 0}\int_{0}^{3x^2}\frac{g_0(t)dt}{1-\cos(x)}

 

XXVIII) Individuare f(x),\ a\in\mathbb{R} che soddisfano l'uguaglianza

 

\int_{a}^{2x}f(t)dt= 6x^2+2x-4

 

XXIX) Dimostrare che l'equazione integrale F(x)=1 ammette due e solo due soluzioni, dove

 

F\left ( x \right )= \int_{0}^{x^{2}} \frac{e^{t^{2}}}{t^{4} +t^{2}+1}dt

 

XXX) Data la funzione integrale

 

F(x)=\int_{1}^{x}\log(t)dt\ \ \ x\geq 1

 

stabilire quali proprietà essa soddisfa tra le seguenti:

 

a) è continua;

 

b) è non derivabile in tutto il suo dominio;

 

c) risulta che F(1)=0;

 

d) è derivabile solo in alcuni punti del dominio;

 

e) è limitata.

 

XXXI) \int_{0}^{\sin(x)} \left ( \frac{1}{t^{4}+3} \right )dt

 

Dimostrare che per ogni x,y\in\mathbb{R} vale

 

\left | F\left ( x \right )-F\left ( y \right ) \right |\leq \frac{1}{3}\left | x-y \right |

 

XXXII) [Avanzato] Calcolare, dove esiste, F'(x) ed indicare eventuali estremi relativi di F

 

\displaystyle{f(t)=\begin{cases} \frac{\sin(\sqrt{t}-1)}{\sqrt{|t^3-t|}}& \text{ per } t>0,\ t\neq 1\\ \\ \frac{\ln^2(|t|)}{\sqrt[3]{t}} & \text{ per } t<0 \end{cases}}

 

dove la funzione integrale è definita da

 

F(x)=\int_{\frac{1}{2}}^{x}f(t)dt

 

 

 

 

Svolgimenti e soluzioni

 

I) Espressione esplicita di una funzione integrale

 

II) Esercizio sulla valutazione di una funzione integrale

 

III) Esercizio sul segno di una funzione integrale

 

IV) Calcolo dell'ordine di infinitesimo di una funzione integrale

 

V) Derivata di una funzione integrale

 

VI) Esercizio sull'invertibilità e sulla derivata della funzione inversa di una funzione integrale

 

VII) Esercizio: funzione integrale invertibile e derivata dell'inversa

 

VIII) Monotonia di una funzione integrale

 

IX) Esercizio su crescenza e decrescenza di una funzione integrale

 

X) Esercizio retta tangente al grafico di una funzione integrale

 

XI) Esercizio su massimi e minimi di una funzione integrale più retta tangente

 

XII) Studio della derivata prima di una funzione integrale

 

XIII) Dominio di una funzione integrale con integranda fratta

 

XIV) Esercizio sul campo di esistenza di una funzione integrale

 

XV) Esercizio sull'iniettività di una funzione integrale

 

XVI) Esercizio sui punti estremanti di una funzione integrale

 

XVII) Esercizio sullo studio della convessità di una funzione integrale

 

XVIII) Scrivere il polinomio di Taylor per una funzione integrale

 

XIX) Applicare la formula di Taylor ad una funzione integrale

 

XX) Esercizio sul polinomio di Taylor di una funzione integrale

 

XXI) Approssimazione di un integrale definito

 

XXII) Esercizio sullo sviluppo di Taylor e limite con funzione integrale

 

XXIII) Limiti di funzioni integrali

 

XXIV) Limite fratto con funzione integrale e parametro

 

XXV) Limite di una funzione integrale

 

XXVI) Limite di una funzione integrale con parte intera

 

XXVII) Esercizio: limite fratto con funzione integrale e integranda parametrica

 

XXVIII) Equazione integrale con parametro

 

XXIX) Dimostrare che un'equazione integrale ammette due soluzioni

 

XXX) Analisi delle proprietà di una funzione integrale

 

XXI) Dimostrare una proprietà di una funzione integrale

 

XXII) [Avanzato] Estremi relativi e derivabilità di una funzione integrale

 

 

Lezione correlata


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