Esercizi: limiti con la definizione (limite finito per x tendente a un valore finito)

Usando la definizione presentata nell'articolo limite finito per x tendente ad un valore finito, risolvi i seguenti esercizi sulla verifica dei limiti con la definizione. In fondo trovi le soluzioni, e il primo esercizio è svolto in modo che tu possa trarne le linee guida per il procedimento.

 

Nota bene: nella pratica non sarà questo il metodo di calcolo dei limiti!

 

Esercizi sulla verifica dei limiti con la definizione (limite finito per x tendente a un valore finito)


0) Verificare che \lim_{x\to 2}{\left(\sqrt{8x}-4\right)}=0

 

Svolgimento: prendiamo un \varepsilon>0, che lasciamo indicato generico (come fosse una variabile). Vogliamo vedere se riusciamo a trovare un \delta dipendente da \varepsilon e tale da soddisfare la definizione di limite. Quindi, imponiamo la disuguaglianza

 

\left|f(x)-0\right|<\varepsilon,

 

ossia

 

\left|\sqrt{8x}-4\right|<\varepsilon.

 

Riscriviamo la disequazione con il valore assoluto come una doppia disequazione

 

-\varepsilon<\sqrt{8x}-4<\varepsilon

 

Sommiamo +4 a tutti i membri ed eleviamo a quadrato. Otteniamo

 

(4-\varepsilon)^2<8x<(4+\varepsilon)^2

 

Ora dividiamo tutti i membri della disequazione per 8, ricavando

 

\frac{1}{8}(4-\varepsilon)^2<x<\frac{1}{8}(4+\varepsilon)^2

 

Dove vogliamo arrivare? Ad una disuguaglianza del tipo \left|x-2\right|<\delta, con \delta dipendente da \varepsilon. Sottraiamo -2 a tutti i membri dell'ultima disuguaglianza (poichè nel limite x→+2):

 

\frac{1}{8}(4-\varepsilon)^2-2<x-2<\frac{1}{8}(4+\varepsilon)^2-2

 

L'occhio clinico porterebbe a concludere che abbiamo trovato l'intervallo di distanze che garantisce il risultato del limite. Non ci credete? Sviluppiamo i quadrati

 

\frac{1}{8}(16-8\varepsilon+\varepsilon^2)-2<x-2<\frac{1}{8}(16+8\varepsilon+\varepsilon^2)-2

 

da cui

 

2-\varepsilon+\frac{\varepsilon^2}{8}-2<x-2<2+\varepsilon+\frac{\varepsilon^2}{8}-2

 

-\varepsilon+\frac{\varepsilon^2}{8}<x-2<\varepsilon+\frac{\varepsilon^2}{8}

 

Dato che \varepsilon>0 e dato che si tratta di una quantità arbitraria piccola (sicuramente minore di 1), sappiamo che \varepsilon^2<\varepsilon, quindi possiamo ad esempio scrivere la seguente catena di disuguaglianze

 

-2\varepsilon<-\varepsilon+\frac{\varepsilon^2}{8}<x-2<\varepsilon+\frac{\varepsilon^2}{8}<2\varepsilon

 

da cui abbiamo ricavato

 

-2\varepsilon<x-2<2\varepsilon

 

che riscritta con il valore assoluto equivale a

 

|x-2|<2\varepsilon

 

e quindi abbiamo dimostrato che \delta=2\varepsilon è un valore dipendente da \varepsilon che soddisfa la definizione di limite finito per x tendente al valore finito considerato.

 

 


 



I) Verificare che \lim_{x\to 2}{\left(\frac{x^2+x-6}{x-2}\right)}=5

 

II) Verificare che \lim_{x\to 4}{[\log_{2}{(x)}]}=2

 

III) Verificare che \lim_{x\to 1}{(x^3+16)}=17

 

IV) Verificare che \lim_{x\to -2}{\left(2\cdot 3^{x+2}\right)}=2

 

V) Verificare che \lim_{x\to \frac{1}{3}}{\left(\sqrt{3x}-5\right)}=-4

 

VI) Verificare che \lim_{x\to 0}{\left(\frac{9^x -1}{3^x-1}\right)}=2

 

VII) Verificare che \lim_{x\to 2}{(x^2-4x+4)}=0 [ti tornerà utile il prodotto notevole per scomporre il quadrato di un binomio]

 

 




Soluzioni

 

I) Comunque scegli \varepsilon, basta prendere \delta=\varepsilon

 

II) Comunque scegli \varepsilon basta prendere 4\left(2^{-\varepsilon}-1\right)<x-4<4\left(2^{\varepsilon}-1\right)

 

III) Comunque scegli \varepsilon basta prendere \sqrt[3]{1-\varepsilon}-1<x-1<\sqrt[3]{1+\varepsilon}-1

 

IV) Comunque scegli \varepsilon basta prendere \log_{3}{\left(\frac{2-\varepsilon}{2}\right)}<x+2<\log_{3}{\left(\frac{2+\varepsilon}{2}\right)}

 

V) Comunque scegli \varepsilon basta prendere \frac{-2\varepsilon+\varepsilon^2}{3}<x-\frac{1}{3}<\frac{+2\varepsilon+\varepsilon^2}{3}

 

VI) Comunque scegli \varepsilon basta prendere \log_{3}(1-\varepsilon)<x<\log_{3}(1+\varepsilon)

 

VII) Comunque scegli \varepsilon basta prendere -\sqrt{\varepsilon}<x-2<+\sqrt{\varepsilon}

 

 


 

Nota bene: ci sono anche due schede di esercizi svolti sulla verifica dei limiti; dato che tali schede trattano i vari tipi di limiti, prima di consultarle ti suggeriamo di metterti alla prova con le altre tre schede di esercizi proposti sulla verifica. Ciascuna di essa tratta infatti uno specifico tipo di limite.

 

Dubbi o problemi? Abbiamo risolto migliaia di esercizi e puoi trovare tutto quello che ti serve con la barra di ricerca. Ancora non basta? Potrai sempre aprire una discussione nel Forum, oppure aprire una nuova discussione!

 

Buon lavoro!

Agente Ω

 

Lezione correlata


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